Страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8 Решите систему уравнений

$\begin{cases} y = 2x - 5, \\ 5x - 3y = 8. \end{cases}$

Дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} y = 2x - 5 \quad (1) \\ 5x - 3y = 8 \quad (2) \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Поскольку в первом уравнении переменная y уже выражена через x, подставим это выражение во второе уравнение:

$5x - 3(2x - 5) = 8$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной x. Сначала раскроем скобки:

$5x - 6x + 15 = 8$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-x + 15 = 8$

Перенесём число 15 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-x = 8 - 15$

$-x = -7$

Умножим обе части на -1, чтобы найти x:

$x = 7$

Теперь, зная значение x, найдём соответствующее значение y. Для этого подставим $x = 7$ в первое уравнение системы:

$y = 2x - 5 = 2(7) - 5$

$y = 14 - 5$

$y = 9$

Таким образом, решение системы уравнений — это пара чисел $(7; 9)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения $x=7$ и $y=9$ в оба исходных уравнения.

Проверка для уравнения (1): $9 = 2(7) - 5 \implies 9 = 14 - 5 \implies 9 = 9$. Верно.

Проверка для уравнения (2): $5(7) - 3(9) = 8 \implies 35 - 27 = 8 \implies 8 = 8$. Верно.

Ответ: $(7; 9)$

9 В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых $2x - 3y = 5$ и $x - 6y = -2$?

1) в первой

2) во второй

3) в третьей

4) в четвёртой

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. Составим систему из данных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ x - 6y = -2 \end{cases} $

Для решения системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную x из второго уравнения:

$x = 6y - 2$

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$2(6y - 2) - 3y = 5$

Раскроем скобки и найдем значение y:

$12y - 4 - 3y = 5$

$9y - 4 = 5$

$9y = 9$

$y = 1$

Теперь найдем значение x, подставив $y=1$ в выражение $x = 6y - 2$:

$x = 6 \cdot 1 - 2 = 4$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(4; 1)$.

Далее определим, в какой координатной четверти находится эта точка. Вспомним знаки координат по четвертям:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Поскольку у точки $(4; 1)$ обе координаты положительны ($x = 4 > 0$ и $y = 1 > 0$), она находится в первой координатной четверти.

Ответ: 1) в первой

10 Для сада отведена площадка прямоугольной формы. Площадь сада равна $300 \text{ м}^2$, а длина ограждения вокруг него составляет $70 \text{ м}$.Каковы размеры площадки, отведённой под сад?Составьте систему уравнений по условию задачи, обозначив буквой $x$ длину площадки (в метрах), буквой $y$ — её ширину (в метрах).

Составьте систему уравнений по условию задачи, обозначив буквой x длину площадки (в метрах), буквой y — её ширину (в метрах).

Пусть $x$ (в метрах) — это длина прямоугольной площадки, а $y$ (в метрах) — её ширина.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину: $S = x \cdot y$. Согласно условию, площадь сада равна 300 м², поэтому мы можем составить первое уравнение:

$x \cdot y = 300$

Длина ограждения вокруг сада — это периметр прямоугольника ($P$), который находится по формуле $P = 2(x + y)$. По условию, длина ограждения составляет 70 м, что дает нам второе уравнение:

$2(x + y) = 70$

Объединив эти два уравнения, мы получаем систему.

Ответ: система уравнений по условию задачи выглядит следующим образом:

$\begin{cases} x \cdot y = 300 \\ 2(x + y) = 70 \end{cases}$

Каковы размеры площадки, отведённой под сад?

Для того чтобы найти размеры площадки, необходимо решить составленную систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения, разделив обе его части на 2:

$x + y = 35$

Теперь система приняла вид:

$\begin{cases} x \cdot y = 300 \\ x + y = 35 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 35 - x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x(35 - x) = 300$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$35x - x^2 = 300$

$x^2 - 35x + 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формулам:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{35 + 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{35 - 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны ($y$):

Если длина $x_1 = 20$ м, то ширина $y_1 = 35 - 20 = 15$ м.

Если длина $x_2 = 15$ м, то ширина $y_2 = 35 - 15 = 20$ м.

Оба решения приводят к одному и тому же набору размеров для площадки.

Ответ: размеры площадки, отведённой под сад, составляют 15 м и 20 м.