Номер 10, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

10 Для сада отведена площадка прямоугольной формы. Площадь сада равна $300 \text{ м}^2$, а длина ограждения вокруг него составляет $70 \text{ м}$.Каковы размеры площадки, отведённой под сад?Составьте систему уравнений по условию задачи, обозначив буквой $x$ длину площадки (в метрах), буквой $y$ — её ширину (в метрах).

Составьте систему уравнений по условию задачи, обозначив буквой x длину площадки (в метрах), буквой y — её ширину (в метрах).

Пусть $x$ (в метрах) — это длина прямоугольной площадки, а $y$ (в метрах) — её ширина.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину: $S = x \cdot y$. Согласно условию, площадь сада равна 300 м², поэтому мы можем составить первое уравнение:

$x \cdot y = 300$

Длина ограждения вокруг сада — это периметр прямоугольника ($P$), который находится по формуле $P = 2(x + y)$. По условию, длина ограждения составляет 70 м, что дает нам второе уравнение:

$2(x + y) = 70$

Объединив эти два уравнения, мы получаем систему.

Ответ: система уравнений по условию задачи выглядит следующим образом:

$\begin{cases} x \cdot y = 300 \\ 2(x + y) = 70 \end{cases}$

Каковы размеры площадки, отведённой под сад?

Для того чтобы найти размеры площадки, необходимо решить составленную систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения, разделив обе его части на 2:

$x + y = 35$

Теперь система приняла вид:

$\begin{cases} x \cdot y = 300 \\ x + y = 35 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 35 - x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x(35 - x) = 300$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$35x - x^2 = 300$

$x^2 - 35x + 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формулам:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{35 + 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{35 - 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны ($y$):

Если длина $x_1 = 20$ м, то ширина $y_1 = 35 - 20 = 15$ м.

Если длина $x_2 = 15$ м, то ширина $y_2 = 35 - 15 = 20$ м.

Оба решения приводят к одному и тому же набору размеров для площадки.

Ответ: размеры площадки, отведённой под сад, составляют 15 м и 20 м.