Номер 9.2, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.2 Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника является функцией числа его вершин $n$. Задайте эту функцию формулой. Какова её область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента $n$ и функции $p$:

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

Задайте эту функцию формулой.

Пусть $n$ — число вершин выпуклого многоугольника. Диагональ соединяет две несоседние вершины. Из каждой вершины можно провести $n-1$ отрезок ко всем остальным вершинам. Два из этих отрезков являются сторонами многоугольника, так как они соединяют вершину с соседними. Следовательно, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если умножить количество вершин $n$ на количество диагоналей, исходящих из каждой вершины $(n-3)$, мы получим $n(n-3)$. В этом произведении каждая диагональ будет посчитана дважды (например, диагональ AC и диагональ CA — это одна и та же диагональ). Поэтому, чтобы найти общее число диагоналей $p$, результат нужно разделить на 2.

Таким образом, функция, связывающая число диагоналей $p$ с числом вершин $n$, задается формулой:
$p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$

Ответ: $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$.

Какова её область определения?

Аргумент функции $n$ представляет собой количество вершин многоугольника. Минимальное число вершин, которое может иметь многоугольник, — это три (треугольник). Число вершин также должно быть целым числом. Следовательно, область определения функции — это множество всех натуральных чисел, больших или равных 3.

Ответ: Область определения функции — множество натуральных чисел $n$, где $n \ge 3$. Математически это можно записать как $D(p) = \{n \in \mathbb{N} \mid n \ge 3\}$.

Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента n и функции p:

Используем выведенную формулу $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$ для заполнения пустых ячеек таблицы.

• При $n=5$:
  $p(5) = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$

• При $p=14$ найдем $n$:
  $14 = \frac{n(n-3)}{2}$
  $28 = n(n-3)$
  $n^2 - 3n - 28 = 0$
  Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $n_1=7$ и $n_2=-4$. Так как число вершин не может быть отрицательным, $n=7$.

• При $n=10$:
  $p(10) = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$

• При $p=54$ найдем $n$:
  $54 = \frac{n(n-3)}{2}$
  $108 = n(n-3)$
  $n^2 - 3n - 108 = 0$
  Решим квадратное уравнение через дискриминант:
  $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$
  $n_{1,2} = \frac{3 \pm 21}{2}$
  $n_1 = \frac{3+21}{2} = 12$
  $n_2 = \frac{3-21}{2} = -9$
  Так как число вершин не может быть отрицательным, $n=12$.

Заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

Результаты, полученные в таблице, можно интерпретировать следующим образом:

• Выпуклый многоугольник с 5 вершинами (пятиугольник) имеет 5 диагоналей.

• Выпуклый многоугольник, имеющий 14 диагоналей, обладает 7 вершинами (это семиугольник).

• Выпуклый многоугольник с 10 вершинами (десятиугольник) имеет 35 диагоналей.

• Выпуклый многоугольник, имеющий 54 диагонали, обладает 12 вершинами (это двенадцатиугольник).

Ответ: Каждая пара значений $(n, p)$ в таблице соответствует конкретному выпуклому многоугольнику, где $n$ — это количество его вершин, а $p$ — количество его диагоналей.