Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какой цели мы стремимся достичь, применяя способы сложения и подстановки при решении системы уравнений? Решите систему $\begin{cases} x - 2y = -9, \\ 2x + 3y = 10 \end{cases}$ двумя способами.

Применяя способы сложения и подстановки при решении системы уравнений, мы стремимся к одной главной цели: преобразовать исходную систему уравнений с несколькими неизвестными в одно уравнение с одной неизвестной. Это позволяет нам последовательно найти значения всех переменных. В методе подстановки мы выражаем одну переменную через другую и подставляем это выражение в другое уравнение, тем самым исключая (элиминируя) одну из переменных. В методе сложения мы выполняем арифметические операции с уравнениями (умножаем на числа и складываем их), чтобы коэффициенты при одной из переменных взаимно уничтожились, что также приводит к уравнению с одной переменной. Таким образом, оба метода являются стратегиями для исключения переменных и упрощения задачи.

Решение системы способом подстановки

Дана система уравнений:$\begin{cases}x - 2y = -9 \\2x + 3y = 10\end{cases}$

1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 9$.

2. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $2(2y - 9) + 3y = 10$.

3. Решим полученное уравнение относительно $y$:
$4y - 18 + 3y = 10$
$7y = 10 + 18$
$7y = 28$
$y = \frac{28}{7}$
$y = 4$

4. Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y = 4$ в выражение $x = 2y - 9$:
$x = 2(4) - 9$
$x = 8 - 9$
$x = -1$

5. Проверим полученное решение, подставив значения $x=-1$ и $y=4$ в исходные уравнения:
$(-1) - 2(4) = -1 - 8 = -9$ (верно)
$2(-1) + 3(4) = -2 + 12 = 10$ (верно)

Ответ: $(-1, 4)$

Решение системы способом сложения

Дана система уравнений:$\begin{cases}x - 2y = -9 \\2x + 3y = 10\end{cases}$

1. Умножим первое уравнение системы на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами. Получим эквивалентную систему:$\begin{cases}-2x + 4y = 18 \\2x + 3y = 10\end{cases}$

2. Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:$(-2x + 4y) + (2x + 3y) = 18 + 10$

3. Упростим и решим полученное уравнение относительно $y$:
$7y = 28$
$y = \frac{28}{7}$
$y = 4$

4. Подставим найденное значение $y = 4$ в первое из исходных уравнений, $x - 2y = -9$:
$x - 2(4) = -9$
$x - 8 = -9$
$x = -9 + 8$
$x = -1$

Решение системы: $x = -1$, $y = 4$.

Ответ: $(-1, 4)$

Какую подстановку вы бы предложили для решения системы:

a) $\begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - 5y = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10x - 15y = 91, \\ x - 6y = 10? \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ 2x - 5y = -3; \end{cases} $

Для решения системы методом подстановки необходимо выразить одну переменную через другую из одного из уравнений и подставить полученное выражение в другое уравнение. Наиболее удобным является выбор переменной, коэффициент при которой равен 1 или -1, так как это позволяет избежать появления дробей при выражении этой переменной.

В данной системе в первом уравнении $3x + y = 4$ коэффициент при переменной $y$ равен 1. Это самый простой вариант для выражения одной переменной через другую.

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 4 - 3x$

Эту подстановку следует использовать, подставив выражение $4 - 3x$ вместо $y$ во второе уравнение системы. Это приведет к уравнению с одной переменной $x$:

$2x - 5(4 - 3x) = -3$

Решив это уравнение, можно найти значение $x$, а затем, подставив его в выражение для $y$, найти соответствующее значение $y$.

Ответ: Наиболее удобная подстановка: выразить $y$ из первого уравнения $y = 4 - 3x$ и подставить во второе уравнение.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 10x - 15y = 91, \\ x - 6y = 10; \end{cases} $

Аналогично предыдущему пункту, ищем переменную с коэффициентом 1 или -1 для наиболее удобной подстановки.

Во втором уравнении системы $x - 6y = 10$ коэффициент при переменной $x$ равен 1. Это делает выражение $x$ через $y$ наиболее простым.

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 10 + 6y$

Эту подстановку следует использовать, подставив выражение $10 + 6y$ вместо $x$ в первое уравнение системы. В результате получится уравнение с одной переменной $y$:

$10(10 + 6y) - 15y = 91$

После нахождения значения $y$ из этого уравнения, его можно подставить в выражение для $x$, чтобы найти значение $x$.

Ответ: Наиболее удобная подстановка: выразить $x$ из второго уравнения $x = 10 + 6y$ и подставить в первое уравнение.

8.44 Выразите из уравнения сначала одну переменную, а затем другую:

а) $x + y = 18$;

б) $a - b = 3$;

в) $2p + q = 0$;

г) $m - 3n = 1$.

а) Чтобы выразить переменную $x$ из уравнения $x + y = 18$, нужно перенести $y$ в правую часть уравнения, поменяв знак:

$x = 18 - y$

Чтобы выразить переменную $y$, нужно перенести $x$ в правую часть уравнения:

$y = 18 - x$

Ответ: $x = 18 - y$; $y = 18 - x$.

б) Чтобы выразить переменную $a$ из уравнения $a - b = 3$, нужно перенести $-b$ в правую часть уравнения, поменяв знак:

$a = 3 + b$

Чтобы выразить переменную $b$, сначала перенесем $a$ в правую часть:

$-b = 3 - a$

Затем умножим обе части уравнения на $-1$:

$b = -(3 - a)$

$b = a - 3$

Ответ: $a = 3 + b$; $b = a - 3$.

в) Чтобы выразить переменную $p$ из уравнения $2p + q = 0$, сначала перенесем $q$ в правую часть уравнения:

$2p = -q$

Затем разделим обе части уравнения на 2:

$p = -\frac{q}{2}$

Чтобы выразить переменную $q$, перенесем $2p$ в правую часть уравнения:

$q = -2p$

Ответ: $p = -\frac{q}{2}$; $q = -2p$.

г) Чтобы выразить переменную $m$ из уравнения $m - 3n = 1$, нужно перенести $-3n$ в правую часть уравнения, поменяв знак:

$m = 1 + 3n$

Чтобы выразить переменную $n$, сначала перенесем $m$ в правую часть:

$-3n = 1 - m$

Затем разделим обе части уравнения на $-3$:

$n = \frac{1 - m}{-3}$

Умножим числитель и знаменатель на $-1$, чтобы сделать знаменатель положительным:

$n = \frac{m - 1}{3}$

Ответ: $m = 1 + 3n$; $n = \frac{m - 1}{3}$.

8.45 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Решите систему уравнений способом подстановки:

а) $\begin{cases} 3x + y = 5, \\ y = 2x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = y - 1, \\ 2x + y = 13; \end{cases}$

в) $\begin{cases} a = b, \\ 2a + 3b = -15; \end{cases}$

г) $\begin{cases} m - 2n = 1, \\ m = -3n + 6; \end{cases}$

д) $\begin{cases} y + 2z = 14, \\ y = z - 4; \end{cases}$

е) $\begin{cases} q = p - 2, \\ 7q - 4p = 10. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 5, \\ y = 2x. \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$3x + (2x) = 5$

Решим полученное уравнение с одной переменной:

$5x = 5$

$x = \frac{5}{5} = 1$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=2$.

Ответ: $x=1, y=2$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = y - 1, \\ 2x + y = 13. \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$2(y - 1) + y = 13$

Решим полученное уравнение:

$2y - 2 + y = 13$

$3y - 2 = 13$

$3y = 13 + 2$

$3y = 15$

$y = \frac{15}{3} = 5$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение системы:

$x = y - 1 = 5 - 1 = 4$

Решение системы: $x=4, y=5$.

Ответ: $x=4, y=5$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a = b, \\ 2a + 3b = -15. \end{cases} $

В первом уравнении переменная $a$ выражена через $b$. Подставим $b$ вместо $a$ во второе уравнение:

$2(b) + 3b = -15$

Решим полученное уравнение:

$5b = -15$

$b = \frac{-15}{5} = -3$

Так как из первого уравнения $a = b$, то:

$a = -3$

Решение системы: $a=-3, b=-3$.

Ответ: $a=-3, b=-3$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} m - 2n = 1, \\ m = -3n + 6. \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $m$ выражена через $n$. Подставим выражение для $m$ из второго уравнения в первое:

$(-3n + 6) - 2n = 1$

Решим полученное уравнение:

$-5n + 6 = 1$

$-5n = 1 - 6$

$-5n = -5$

$n = \frac{-5}{-5} = 1$

Теперь найдем значение $m$, подставив $n=1$ во второе уравнение:

$m = -3(1) + 6 = -3 + 6 = 3$

Решение системы: $m=3, n=1$.

Ответ: $m=3, n=1$.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} y + 2z = 14, \\ y = z - 4. \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $y$ выражена через $z$. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$(z - 4) + 2z = 14$

Решим полученное уравнение:

$3z - 4 = 14$

$3z = 14 + 4$

$3z = 18$

$z = \frac{18}{3} = 6$

Теперь найдем значение $y$, подставив $z=6$ во второе уравнение:

$y = z - 4 = 6 - 4 = 2$

Решение системы: $y=2, z=6$.

Ответ: $y=2, z=6$.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} q = p - 2, \\ 7q - 4p = 10. \end{cases} $

В первом уравнении переменная $q$ выражена через $p$. Подставим выражение для $q$ из первого уравнения во второе:

$7(p - 2) - 4p = 10$

Решим полученное уравнение:

$7p - 14 - 4p = 10$

$3p - 14 = 10$

$3p = 10 + 14$

$3p = 24$

$p = \frac{24}{3} = 8$

Теперь найдем значение $q$, подставив $p=8$ в первое уравнение:

$q = p - 2 = 8 - 2 = 6$

Решение системы: $p=8, q=6$.

Ответ: $q=6, p=8$.