Страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какая из следующих пар чисел является решением уравнения

$3x - 2y = 15?$

1) $(0; 5)$

2) $(-5; 0)$

3) $(1; -6)$

4) $(-6; 1)$

Чтобы определить, какая из пар чисел является решением уравнения $3x - 2y = 15$, необходимо поочередно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в это уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) (0; 5)

Подставляем $x = 0$ и $y = 5$: $3 \cdot 0 - 2 \cdot 5 = 0 - 10 = -10$. Полученное значение $-10$ не равно $15$, следовательно, эта пара не является решением.

Ответ: не является решением.

2) (-5; 0)

Подставляем $x = -5$ и $y = 0$: $3 \cdot (-5) - 2 \cdot 0 = -15 - 0 = -15$. Полученное значение $-15$ не равно $15$, следовательно, эта пара не является решением.

Ответ: не является решением.

3) (1; -6)

Подставляем $x = 1$ и $y = -6$: $3 \cdot 1 - 2 \cdot (-6) = 3 + 12 = 15$. Полученное значение $15$ равно $15$, следовательно, эта пара является решением.

Ответ: является решением.

4) (-6; 1)

Подставляем $x = -6$ и $y = 1$: $3 \cdot (-6) - 2 \cdot 1 = -18 - 2 = -20$. Полученное значение $-20$ не равно $15$, следовательно, эта пара не является решением.

Ответ: не является решением.

2 Какое из следующих уравнений не задаёт прямую?

1) $x - 2y - 1 = 0$

2) $2x + y = 0$

3) $2x - 7 = 0$

4) $2xy = 1$

Для того чтобы определить, какое из уравнений не задаёт прямую, необходимо проанализировать каждое из них. Общее уравнение прямой в декартовых координатах имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ – некоторые числа, причём коэффициенты $A$ и $B$ не могут быть одновременно равны нулю. Уравнение является линейным, если переменные $x$ и $y$ входят в него только в первой степени и не перемножаются друг с другом. Проверим каждое из предложенных уравнений.

1) $x - 2y - 1 = 0$

Это уравнение является линейным. Оно соответствует общему виду уравнения прямой при $A=1$, $B=-2$ и $C=-1$. Его можно привести к виду $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, что является уравнением прямой с угловым коэффициентом. Таким образом, это уравнение задаёт прямую.

2) $2x + y = 0$

Это уравнение также является линейным. Оно соответствует общему виду уравнения прямой при $A=2$, $B=1$ и $C=0$. Его можно представить в виде $y = -2x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Таким образом, это уравнение задаёт прямую.

3) $2x - 7 = 0$

Это уравнение является линейным, оно соответствует общему виду при $A=2$, $B=0$ и $C=-7$. Его можно представить в виде $x = 3.5$. Это уравнение задаёт вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$. Таким образом, это уравнение задаёт прямую.

4) $2xy = 1$

Это уравнение не является линейным, так как оно содержит произведение переменных $x$ и $y$. Такое уравнение невозможно привести к общему виду $Ax + By + C = 0$. Если выразить $y$ через $x$, мы получим $y = \frac{1}{2x}$, что является уравнением обратной пропорциональности. Графиком этой функции является гипербола, а не прямая. Таким образом, это уравнение не задаёт прямую.

Ответ: единственное уравнение из списка, которое не задаёт прямую, это $2xy=1$.

3 Через какую из точек проходит прямая $3x - 8y = -25$?

1) (3; 2)

2) (-3; -2)

3) (3; -2)

4) (-3; 2)

Для того чтобы определить, проходит ли прямая через указанную точку, необходимо подставить координаты этой точки ($x$ и $y$) в уравнение прямой. Если в результате подстановки левая часть уравнения будет равна правой, то точка лежит на этой прямой. Уравнение прямой задано как $3x - 8y = -25$. Проверим последовательно каждую из предложенных точек.

1) (3; 2)
Подставляем в уравнение прямой значения $x=3$ и $y=2$:
$3 \cdot (3) - 8 \cdot (2) = 9 - 16 = -7$
Так как $-7 \neq -25$, равенство не выполняется. Следовательно, прямая не проходит через эту точку.
Ответ: не проходит.

2) (-3; -2)
Подставляем в уравнение прямой значения $x=-3$ и $y=-2$:
$3 \cdot (-3) - 8 \cdot (-2) = -9 - (-16) = -9 + 16 = 7$
Так как $7 \neq -25$, равенство не выполняется. Следовательно, прямая не проходит через эту точку.
Ответ: не проходит.

3) (3; -2)
Подставляем в уравнение прямой значения $x=3$ и $y=-2$:
$3 \cdot (3) - 8 \cdot (-2) = 9 - (-16) = 9 + 16 = 25$
Так как $25 \neq -25$, равенство не выполняется. Следовательно, прямая не проходит через эту точку.
Ответ: не проходит.

4) (-3; 2)
Подставляем в уравнение прямой значения $x=-3$ и $y=2$:
$3 \cdot (-3) - 8 \cdot (2) = -9 - 16 = -25$
Так как $-25 = -25$, равенство выполняется. Следовательно, прямая проходит через эту точку.
Ответ: проходит.

4 Соотнесите каждое уравнение с его графиком:

А) $y = 2x$

Б) $y = -2x$

В) $y = -\frac{1}{2}x$

Г) $y = \frac{1}{2}x$

1) 2) 3) 4)

Для решения этой задачи нужно сопоставить каждое уравнение линейной функции вида $y=kx$ с его графиком. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой.

• Если $k > 0$, функция возрастает, и ее график проходит через I и III координатные четверти (идет вверх слева направо).
• Если $k < 0$, функция убывает, и ее график проходит через II и IV координатные четверти (идет вниз слева направо).
• Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем "круче" идет прямая, то есть тем ближе она расположена к оси $y$.

А) $y = 2x$
Угловой коэффициент $k=2$. Так как $k > 0$, функция возрастает. Этому условию соответствуют графики 1 и 3. Сравним уравнения А) $y=2x$ и Г) $y=\frac{1}{2}x$. Угловой коэффициент в уравнении А больше ($2 > \frac{1}{2}$), значит, его график должен быть круче. Сравнивая графики 1 и 3, видим, что график 3 круче, чем график 1. Следовательно, уравнению $y=2x$ соответствует график 3. Для проверки можно взять точку на графике 3, например, $(1, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = 2 \cdot 1$. Равенство верное.
Ответ: 3

Б) $y = -2x$
Угловой коэффициент $k=-2$. Так как $k < 0$, функция убывает. Этому условию соответствуют графики 2 и 4. Сравним уравнения Б) $y=-2x$ и В) $y=-\frac{1}{2}x$. По модулю угловой коэффициент в уравнении Б больше ($|-2| > |-\frac{1}{2}|$), значит, его график должен быть круче. Сравнивая графики 2 и 4, видим, что график 2 круче. Следовательно, уравнению $y=-2x$ соответствует график 2. Для проверки возьмем точку на графике 2, например, $(-1, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = -2 \cdot (-1)$. Равенство верное.
Ответ: 2

В) $y = -\frac{1}{2}x$
Угловой коэффициент $k=-\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, функция убывает. Этому условию соответствуют графики 2 и 4. По модулю угловой коэффициент в уравнении В меньше, чем в уравнении Б ($|-\frac{1}{2}| < |-2|$), значит, его график более пологий. Сравнивая графики 2 и 4, видим, что график 4 более пологий. Следовательно, уравнению $y=-\frac{1}{2}x$ соответствует график 4. Для проверки возьмем точку на графике 4, например, $(2, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = -\frac{1}{2} \cdot 2$. Равенство верное.
Ответ: 4

Г) $y = \frac{1}{2}x$
Угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Так как $k > 0$, функция возрастает. Этому условию соответствуют графики 1 и 3. По модулю угловой коэффициент в уравнении Г меньше, чем в уравнении А ($|\frac{1}{2}| < |2|$), значит, его график более пологий. Сравнивая графики 1 и 3, видим, что график 1 более пологий. Следовательно, уравнению $y=\frac{1}{2}x$ соответствует график 1. Для проверки возьмем точку на графике 1, например, $(2, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $1 = \frac{1}{2} \cdot 2$. Равенство верное.
Ответ: 1

5 Соотнесите каждую прямую с её уравнением:

А) Б) В) Г) 1) $y = -x - 2$

2) $y = x - 2$

3) $y = -x + 2$

4) $y = x + 2$

Для решения этой задачи сопоставим каждый график с одним из предложенных уравнений вида $y = kx + b$. Коэффициент $k$ определяет наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет вверх слева направо), если $k < 0$, функция убывает (прямая идет вниз). Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью ординат (Y).

А)

На графике А мы видим прямую, которая убывает, следовательно, её угловой коэффициент $k$ должен быть отрицательным. Прямая пересекает ось Y в точке $(0, 2)$, значит, $b = 2$. Из предложенных уравнений этим двум условиям ($k < 0$ и $b = 2$) удовлетворяет только уравнение 3) $y = -x + 2$. Для проверки возьмем точку на графике, через которую проходит прямая, например, $(2, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = -2 + 2$, что является верным равенством.

Ответ: 3

Б)

На графике Б прямая возрастает, значит, её угловой коэффициент $k$ положителен. Прямая пересекает ось Y в точке $(0, -2)$, значит, $b = -2$. Этим условиям ($k > 0$ и $b = -2$) соответствует уравнение 2) $y = x - 2$. Проверим по точке $(2, 0)$, через которую проходит прямая: $0 = 2 - 2$. Равенство верное.

Ответ: 2

В)

На графике В прямая убывает, то есть $k < 0$. Точка пересечения с осью Y находится в точке $(0, -2)$, поэтому $b = -2$. Этим характеристикам ($k < 0$ и $b = -2$) отвечает уравнение 1) $y = -x - 2$. Проверим по точке $(-2, 0)$: $0 = -(-2) - 2 = 2 - 2$. Равенство верное.

Ответ: 1

Г)

На графике Г прямая возрастает, так что $k > 0$. Точка пересечения с осью Y — это $(0, 2)$, значит $b = 2$. Уравнение, которое подходит под эти условия ($k > 0$ и $b = 2$), это 4) $y = x + 2$. Проверим по точке $(-2, 0)$: $0 = -2 + 2$. Равенство верное.

Ответ: 4

6 Выберите уравнение прямой, параллельной прямой $y=4x$ и проходящей через точку (10; 39).

1) $y=-4x$

2) $y=-4x+1$

3) $y=4x+1$

4) $y=4x-1$

Для того чтобы найти уравнение прямой, которая параллельна данной прямой и проходит через указанную точку, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Определение углового коэффициента искомой прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – свободный член, отвечающий за сдвиг графика вдоль оси $y$.

Ключевое условие параллельности двух прямых заключается в том, что их угловые коэффициенты должны быть равны.

Нам дана прямая с уравнением $y = 4x$. В этом уравнении угловой коэффициент $k_1 = 4$.

Следовательно, любая прямая, параллельная данной, будет иметь такой же угловой коэффициент. Таким образом, уравнение искомой прямой будет иметь вид $y = 4x + b$.

Из предложенных вариантов ответов нам подходят только те, у которых коэффициент при $x$ равен 4. Это варианты 3) $y = 4x + 1$ и 4) $y = 4x - 1$. Варианты 1) и 2) можно сразу исключить, так как их угловой коэффициент равен $-4$.

2. Нахождение свободного члена $b$

По условию, искомая прямая должна проходить через точку с координатами $(10; 39)$. Это означает, что если подставить значения $x=10$ и $y=39$ в уравнение нашей прямой $y = 4x + b$, мы получим верное равенство.

Подставим координаты точки в уравнение:

$39 = 4 \cdot 10 + b$

Теперь решим это уравнение относительно $b$:

$39 = 40 + b$

$b = 39 - 40$

$b = -1$

3. Формирование итогового уравнения

Теперь, когда мы знаем угловой коэффициент $k = 4$ и свободный член $b = -1$, мы можем записать полное уравнение искомой прямой:

$y = 4x - 1$

Это уравнение в точности совпадает с вариантом ответа под номером 4.

Ответ: 4) $y=4x-1$

7 Решите систему уравнений

$\begin{cases} 2x - 3y = 3, \\ 2x + 3y = 1. \end{cases}$

Дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 3, \\ 2x + 3y = 1. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях являются противоположными числами ($-3$ и $3$).

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(2x - 3y) + (2x + 3y) = 3 + 1$

Упростим полученное уравнение. Слагаемые с $y$ взаимно уничтожаются:

$4x = 4$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{4}{4}$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Воспользуемся вторым уравнением $2x + 3y = 1$:

$2(1) + 3y = 1$

$2 + 3y = 1$

Перенесем $2$ в правую часть уравнения:

$3y = 1 - 2$

$3y = -1$

Найдем значение $y$:

$y = -\frac{1}{3}$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $(1; -\frac{1}{3})$.