Страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.46 Решите систему уравнений двумя способами: способом подстановки и способом сложения:

a) $\begin{cases} y + x = 21, \\ y - x = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a - 2b = 3, \\ a - 3b = 20; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 4y = 10; \end{cases}$

г) $\begin{cases} m + 3n = 2, \\ 2m + 3n = 7; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3u + 5v = 8, \\ u + 2v = 1; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3x - 2z = 3, \\ 2x - z = 2. \end{cases}$

а)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} y + x = 21, \\ y - x = 3. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $y$: $y = 21 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $(21 - x) - x = 3$.
Решим полученное уравнение:
$21 - 2x = 3$
$-2x = 3 - 21$
$-2x = -18$
$x = 9$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 21 - x$:
$y = 21 - 9 = 12$.

2. Способ сложения:

Сложим левые и правые части уравнений системы, так как коэффициенты при $x$ противоположны ($1$ и $-1$):
$(y + x) + (y - x) = 21 + 3$
$2y = 24$
$y = 12$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение $y + x = 21$:
$12 + x = 21$
$x = 21 - 12$
$x = 9$.

Ответ: $(9; 12)$.

б)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} a - 2b = 3, \\ a - 3b = 20. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $a$: $a = 3 + 2b$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $(3 + 2b) - 3b = 20$.
Решим полученное уравнение:
$3 - b = 20$
$-b = 20 - 3$
$-b = 17$
$b = -17$
Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 3 + 2b$:
$a = 3 + 2(-17) = 3 - 34 = -31$.

2. Способ сложения (вычитания):

Вычтем из первого уравнения второе, так как коэффициенты при $a$ одинаковы:
$(a - 2b) - (a - 3b) = 3 - 20$
$a - 2b - a + 3b = -17$
$b = -17$
Подставим найденное значение $b$ в первое уравнение $a - 2b = 3$:
$a - 2(-17) = 3$
$a + 34 = 3$
$a = 3 - 34 = -31$.

Ответ: $(-31; -17)$.

в)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 4y = 10. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $x$: $x = 5 + 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $3(5 + 2y) + 4y = 10$.
Решим полученное уравнение:
$15 + 6y + 4y = 10$
$10y = 10 - 15$
$10y = -5$
$y = -0.5$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 5 + 2y$:
$x = 5 + 2(-0.5) = 5 - 1 = 4$.

2. Способ сложения:

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-4$ и $4$):
$2(x - 2y) = 2 \cdot 5 \Rightarrow 2x - 4y = 10$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 2x - 4y = 10, \\ 3x + 4y = 10. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(2x - 4y) + (3x + 4y) = 10 + 10$
$5x = 20$
$x = 4$
Подставим найденное значение $x$ в исходное первое уравнение $x - 2y = 5$:
$4 - 2y = 5$
$-2y = 5 - 4$
$-2y = 1$
$y = -0.5$.

Ответ: $(4; -0.5)$.

г)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} m + 3n = 2, \\ 2m + 3n = 7. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим переменную $m$: $m = 2 - 3n$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $2(2 - 3n) + 3n = 7$.
Решим полученное уравнение:
$4 - 6n + 3n = 7$
$4 - 3n = 7$
$-3n = 7 - 4$
$-3n = 3$
$n = -1$
Теперь найдем $m$, подставив значение $n$ в выражение $m = 2 - 3n$:
$m = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5$.

2. Способ сложения (вычитания):

Вычтем из второго уравнения первое, так как коэффициенты при $n$ одинаковы:
$(2m + 3n) - (m + 3n) = 7 - 2$
$m = 5$
Подставим найденное значение $m$ в первое уравнение $m + 3n = 2$:
$5 + 3n = 2$
$3n = 2 - 5$
$3n = -3$
$n = -1$.

Ответ: $(5; -1)$.

д)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} 3u + 5v = 8, \\ u + 2v = 1. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим переменную $u$: $u = 1 - 2v$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $3(1 - 2v) + 5v = 8$.
Решим полученное уравнение:
$3 - 6v + 5v = 8$
$3 - v = 8$
$-v = 8 - 3$
$-v = 5$
$v = -5$
Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1 - 2v$:
$u = 1 - 2(-5) = 1 + 10 = 11$.

2. Способ сложения:

Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $u$ стали противоположными ($3$ и $-3$):
$-3(u + 2v) = -3 \cdot 1 \Rightarrow -3u - 6v = -3$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3u + 5v = 8, \\ -3u - 6v = -3. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(3u + 5v) + (-3u - 6v) = 8 + (-3)$
$-v = 5$
$v = -5$
Подставим найденное значение $v$ в исходное второе уравнение $u + 2v = 1$:
$u + 2(-5) = 1$
$u - 10 = 1$
$u = 11$.

Ответ: $(11; -5)$.

е)

1. Способ подстановки:

Дана система: $ \begin{cases} 3x - 2z = 3, \\ 2x - z = 2. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим переменную $z$: $z = 2x - 2$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $3x - 2(2x - 2) = 3$.
Решим полученное уравнение:
$3x - 4x + 4 = 3$
$-x = 3 - 4$
$-x = -1$
$x = 1$
Теперь найдем $z$, подставив значение $x$ в выражение $z = 2x - 2$:
$z = 2(1) - 2 = 0$.

2. Способ сложения:

Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $z$ стали противоположными ($-2$ и $2$):
$-2(2x - z) = -2 \cdot 2 \Rightarrow -4x + 2z = -4$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3x - 2z = 3, \\ -4x + 2z = -4. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(3x - 2z) + (-4x + 2z) = 3 + (-4)$
$-x = -1$
$x = 1$
Подставим найденное значение $x$ в исходное второе уравнение $2x - z = 2$:
$2(1) - z = 2$
$2 - z = 2$
$-z = 0$
$z = 0$.

Ответ: $(1; 0)$.

8.47 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Определите координаты точки пересечения данных прямых и укажите, в какой координатной четверти она находится:

а) $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$;

б) $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$, необходимо решить систему этих уравнений. В точке пересечения значения $y$ для обеих функций равны, поэтому мы можем приравнять их правые части:

$-8x + 27 = 5x - 25$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$27 + 25 = 5x + 8x$

$52 = 13x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{52}{13}$

$x = 4$

Теперь, зная абсциссу точки пересечения, найдем ее ординату $y$, подставив значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Например, во второе:

$y = 5(4) - 25$

$y = 20 - 25$

$y = -5$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $(4; -5)$.

Координатные четверти определяются знаками координат:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

Поскольку у нашей точки $x = 4 > 0$ и $y = -5 < 0$, она находится в IV (четвертой) координатной четверти.

Ответ: Координаты точки пересечения $(4; -5)$, точка находится в IV координатной четверти.

б)

Найдем координаты точки пересечения прямых $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$. Приравняем правые части уравнений:

$3x - 19 = x + 2$

Решим это уравнение относительно $x$:

$3x - x = 2 + 19$

$2x = 21$

$x = \frac{21}{2}$

$x = 10.5$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 10.5$ во второе уравнение $y = x + 2$:

$y = 10.5 + 2$

$y = 12.5$

Координаты точки пересечения — $(10.5; 12.5)$.

Поскольку абсцисса $x = 10.5$ положительна и ордината $y = 12.5$ положительна, точка находится в I (первой) координатной четверти.

Ответ: Координаты точки пересечения $(10.5; 12.5)$, точка находится в I координатной четверти.

Решите задачу, составив систему уравнений по ее условию (8.48–8.50).

8.48 а) Первое число в 3 раза больше второго. Если первое число увеличить в 3 раза, а второе увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 33. Найдите эти числа.

б) Одно число в 2 раза меньше другого. Если меньшее число увеличить в 3 раза, а большее число увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 28. Найдите эти числа.

а) Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.

Согласно условию, "первое число в 3 раза больше второго", что можно записать как уравнение: $x = 3y$.

Также по условию, "если первое число увеличить в 3 раза, а второе увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 33". Это дает нам второе уравнение: $3x + 2y = 33$.

Составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x = 3y \\ 3x + 2y = 33 \end{cases} $$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$3(3y) + 2y = 33$

$9y + 2y = 33$

$11y = 33$

$y = \frac{33}{11}$

$y = 3$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 3 \cdot 3$

$x = 9$

Итак, первое число равно 9, а второе — 3.

Ответ: 9 и 3.

б) Пусть меньшее число — это $x$, а большее число — это $y$.

По условию, "одно число в 2 раза меньше другого", что означает: $y = 2x$.

Из второго условия, "если меньшее число увеличить в 3 раза, а большее число увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 28", получаем уравнение: $3x + 2y = 28$.

Составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2x \\ 3x + 2y = 28 \end{cases} $$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3x + 2(2x) = 28$

$3x + 4x = 28$

$7x = 28$

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 2 \cdot 4$

$y = 8$

Следовательно, искомые числа — 4 и 8.

Ответ: 4 и 8.

8.49 a) Масса яблока составляет $ \frac{3}{5} $ массы апельсина, причём апельсин тяжелее яблока на 94 г. Найдите массу яблока и массу апельсина.

б) Стоимость тетради составляет $ \frac{4}{7} $ стоимости альбома, причём тетрадь дешевле альбома на 42 р. Найдите стоимость тетради и стоимость альбома.

а)

Обозначим массу апельсина за $x$ г. Тогда масса яблока составляет $\frac{3}{5}x$ г. Из условия известно, что апельсин тяжелее яблока на 94 г. Составим уравнение:

$x - \frac{3}{5}x = 94$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5}{5}x - \frac{3}{5}x = 94$

$\frac{2}{5}x = 94$

Теперь найдем $x$, который представляет массу апельсина:

$x = 94 : \frac{2}{5} = 94 \cdot \frac{5}{2} = \frac{94 \cdot 5}{2} = 47 \cdot 5 = 235$ (г)

Итак, масса апельсина равна 235 г. Теперь найдем массу яблока:

$\frac{3}{5} \cdot 235 = \frac{3 \cdot 235}{5} = 3 \cdot 47 = 141$ (г)

Проверка: $235 - 141 = 94$ г.

Ответ: масса яблока — 141 г, масса апельсина — 235 г.

б)

Обозначим стоимость альбома за $y$ р. Тогда стоимость тетради составляет $\frac{4}{7}y$ р. Из условия известно, что тетрадь дешевле альбома на 42 р. Составим уравнение:

$y - \frac{4}{7}y = 42$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{7}{7}y - \frac{4}{7}y = 42$

$\frac{3}{7}y = 42$

Теперь найдем $y$, который представляет стоимость альбома:

$y = 42 : \frac{3}{7} = 42 \cdot \frac{7}{3} = \frac{42 \cdot 7}{3} = 14 \cdot 7 = 98$ (р.)

Итак, стоимость альбома равна 98 р. Теперь найдем стоимость тетради:

$\frac{4}{7} \cdot 98 = \frac{4 \cdot 98}{7} = 4 \cdot 14 = 56$ (р.)

Проверка: $98 - 56 = 42$ р.

Ответ: стоимость тетради — 56 р., стоимость альбома — 98 р.

8.50 а) В мае цена билета для проезда на электричке увеличится на 8% и пассажиру за проезд до станции Речная придётся платить 135 р. Сколько рублей платит пассажир за проезд в апреле и на сколько рублей увеличится стоимость билета?

б) С июня ежемесячная плата за квартиру увеличится на 6%, и семье придётся платить 901 р. Сколько рублей платит семья за квартиру теперь и на сколько рублей увеличится плата?

а)

Пусть $x$ – цена билета в апреле в рублях. Эта цена составляет 100%.
В мае цена увеличилась на 8%, значит, новая цена составляет $100\% + 8\% = 108\%$ от апрельской цены.
Новая цена равна 135 р. Составим пропорцию:

$x$ р. — 100%
135 р. — 108%

Отсюда $x = \frac{135 \cdot 100}{108} = \frac{13500}{108} = 125$ р.
Таким образом, цена билета в апреле составляла 125 рублей.

Чтобы найти, на сколько рублей увеличилась стоимость билета, нужно из новой цены вычесть старую:
$135 - 125 = 10$ р.

Ответ: в апреле пассажир платил 125 рублей, стоимость билета увеличилась на 10 рублей.

б)

Пусть $y$ – ежемесячная плата за квартиру сейчас (до июня) в рублях. Эта плата составляет 100%.
С июня плата увеличится на 6%, значит, новая плата составит $100\% + 6\% = 106\%$ от текущей.
Новая плата равна 901 р. Составим пропорцию:

$y$ р. — 100%
901 р. — 106%

Отсюда $y = \frac{901 \cdot 100}{106} = \frac{90100}{106} = 850$ р.
Таким образом, сейчас семья платит за квартиру 850 рублей.

Чтобы найти, на сколько рублей увеличится плата, нужно из новой платы вычесть старую:
$901 - 850 = 51$ р.

Ответ: сейчас семья платит 850 рублей, плата увеличится на 51 рубль.

8.51 Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

a) $ \begin{cases} 3m + 4n = 7, \\ 2m + n = 8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ 5x + y = 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 5a + 2b = 15, \\ 8a + 3b = -1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 5p - 4q = 3, \\ 2p - 3q = 11; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 8x - 2y = 14, \\ 9x + 4y = -3; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} 3y - z = 5, \\ 5y + 2z = 12. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $\begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8 \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $n$:
$n = 8 - 2m$
Подставим полученное выражение для $n$ в первое уравнение системы:
$3m + 4(8 - 2m) = 7$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m$:
$3m + 32 - 8m = 7$
$-5m = 7 - 32$
$-5m = -25$
$m = \frac{-25}{-5}$
$m = 5$
Теперь найдем значение $n$, подставив найденное значение $m$ в выражение для $n$:
$n = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$
Проверим решение: $3(5) + 4(-2) = 15 - 8 = 7$ (верно). $2(5) + (-2) = 10 - 2 = 8$ (верно).
Ответ: $m=5, n=-2$.

б) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4 \end{cases}$
Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) = 3$
Решим полученное уравнение:
$x - 8 + 10x = 3$
$11x = 3 + 8$
$11x = 11$
$x = 1$
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 4 - 5(1) = 4 - 5 = -1$
Проверим решение: $1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$ (верно). $5(1) + (-1) = 5 - 1 = 4$ (верно).
Ответ: $x=1, y=-1$.

в) Дана система уравнений: $\begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1 \end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами:
$\begin{cases} (5a + 2b) \cdot 3 = 15 \cdot 3 \\ (8a + 3b) \cdot (-2) = -1 \cdot (-2) \end{cases}$
$\begin{cases} 15a + 6b = 45 \\ -16a - 6b = 2 \end{cases}$
Теперь сложим два уравнения почленно:
$(15a + 6b) + (-16a - 6b) = 45 + 2$
$-a = 47$
$a = -47$
Подставим значение $a$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $b$:
$5(-47) + 2b = 15$
$-235 + 2b = 15$
$2b = 15 + 235$
$2b = 250$
$b = 125$
Проверим решение: $5(-47) + 2(125) = -235 + 250 = 15$ (верно). $8(-47) + 3(125) = -376 + 375 = -1$ (верно).
Ответ: $a=-47, b=125$.

г) Дана система уравнений: $\begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11 \end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -3, а второе на 4:
$\begin{cases} -3(5p - 4q) = -3 \cdot 3 \\ 4(2p - 3q) = 4 \cdot 11 \end{cases}$
$\begin{cases} -15p + 12q = -9 \\ 8p - 12q = 44 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-15p + 12q) + (8p - 12q) = -9 + 44$
$-7p = 35$
$p = -5$
Подставим $p = -5$ в первое исходное уравнение:
$5(-5) - 4q = 3$
$-25 - 4q = 3$
$-4q = 3 + 25$
$-4q = 28$
$q = -7$
Проверим решение: $5(-5) - 4(-7) = -25 + 28 = 3$ (верно). $2(-5) - 3(-7) = -10 + 21 = 11$ (верно).
Ответ: $p=-5, q=-7$.

д) Дана система уравнений: $\begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases}$
Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 2(8x - 2y) = 2 \cdot 14 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases}$
$\begin{cases} 16x - 4y = 28 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(16x - 4y) + (9x + 4y) = 28 + (-3)$
$25x = 25$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ в первое исходное уравнение:
$8(1) - 2y = 14$
$8 - 2y = 14$
$-2y = 14 - 8$
$-2y = 6$
$y = -3$
Проверим решение: $8(1) - 2(-3) = 8 + 6 = 14$ (верно). $9(1) + 4(-3) = 9 - 12 = -3$ (верно).
Ответ: $x=1, y=-3$.

е) Дана система уравнений: $\begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases}$
Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$\begin{cases} 2(3y - z) = 2 \cdot 5 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases}$
$\begin{cases} 6y - 2z = 10 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(6y - 2z) + (5y + 2z) = 10 + 12$
$11y = 22$
$y = 2$
Подставим $y = 2$ в первое исходное уравнение:
$3(2) - z = 5$
$6 - z = 5$
$-z = 5 - 6$
$-z = -1$
$z = 1$
Проверим решение: $3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$ (верно). $5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12$ (верно).
Ответ: $y=2, z=1$.