Страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.60 Запишите уравнение прямой, которая проходит через две данные точки:

а) $A(1; 3), B(5; -4);$

б) $A(-1; -1), B(4; 3).$

Совет. В качестве образца воспользуйтесь задачей 2.

а)

Для того чтобы записать уравнение прямой, которая проходит через две данные точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), воспользуемся каноническим уравнением прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Для точек A(1; 3) и B(5; -4) имеем следующие координаты: $x_1 = 1$, $y_1 = 3$, $x_2 = 5$, $y_2 = -4$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{x - 1}{5 - 1} = \frac{y - 3}{-4 - 3}$

Упростим знаменатели в уравнении:

$\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 3}{-7}$

Теперь преобразуем полученное уравнение к общему виду уравнения прямой $y = kx + b$. Для этого воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$-7(x - 1) = 4(y - 3)$

Раскроем скобки:

$-7x + 7 = 4y - 12$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $y$:

$4y = -7x + 7 + 12$

$4y = -7x + 19$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$

б)

Аналогично поступим для точек A(-1; -1) и B(4; 3).

Координаты точек: $x_1 = -1$, $y_1 = -1$, $x_2 = 4$, $y_2 = 3$.

Подставим координаты в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)}$

Упростим выражение:

$\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{4}$

Используя свойство пропорции, преобразуем уравнение:

$4(x + 1) = 5(y + 1)$

Раскроем скобки:

$4x + 4 = 5y + 5$

Выразим $y$:

$5y = 4x + 4 - 5$

$5y = 4x - 1$

Разделим обе части уравнения на 5:

$y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$

Ответ: $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$

1 Что называется решением уравнения с двумя переменными? Укажите несколько решений уравнения $4x - y = 4$.

Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел, которая при подстановке в уравнение вместо этих переменных обращает его в верное числовое равенство. Каждое такое уравнение, как правило, имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Укажите несколько решений уравнения $4x - y = 4$.

Для того чтобы найти решения данного линейного уравнения, удобно выразить одну переменную через другую. Выразим $y$ через $x$:

$4x - y = 4$

Перенесем $4x$ в правую часть уравнения:

$-y = 4 - 4x$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$y = 4x - 4$

Теперь мы можем подставлять любые значения $x$ и находить соответствующие им значения $y$. Найдем несколько таких пар, которые будут являться решениями уравнения.

1. Возьмем $x = 0$.

Тогда $y = 4 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$.

Таким образом, пара $(0; -4)$ является решением уравнения.

2. Возьмем $x = 1$.

Тогда $y = 4 \cdot 1 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Таким образом, пара $(1; 0)$ является решением уравнения.

3. Возьмем $x = 2$.

Тогда $y = 4 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 = 4$.

Таким образом, пара $(2; 4)$ является решением уравнения.

Проверим правильность одного из найденных решений, например, пары $(1; 0)$, подставив ее в исходное уравнение $4x - y = 4$.

$4 \cdot 1 - 0 = 4$

$4 - 0 = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: Например, решениями уравнения являются пары чисел $(0; -4)$, $(1; 0)$ и $(2; 4)$.

2 Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Какие из следующих уравнений являются линейными:

$x + y = 0$, $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$,

$2x - 5y = 8$, $y - x^2 = 6$?

Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — это переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты). При этом хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю.

Какие из следующих уравнений являются линейными:

Проанализируем каждое уравнение на соответствие определению линейного уравнения.

1. $x + y = 0$
Это уравнение можно записать в стандартном виде $ax + by = c$, где $a=1$, $b=1$ и $c=0$. Оба коэффициента при переменных не равны нулю. Следовательно, это уравнение является линейным.

2. $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$
В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателе, что эквивалентно их отрицательной первой степени ($x^{-1}$ и $y^{-1}$). В линейном уравнении переменные должны быть в первой степени. Таким образом, это уравнение не является линейным.

3. $2x - 5y = 8$
Это уравнение уже представлено в стандартном виде $ax + by = c$, где $a=2$, $b=-5$ и $c=8$. Оно полностью соответствует определению, значит, является линейным.

4. $y - x^2 = 6$
Это уравнение содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). В линейных уравнениях переменные могут быть только в первой степени. Следовательно, это уравнение не является линейным (это уравнение параболы).

Ответ: Линейными являются уравнения $x + y = 0$ и $2x - 5y = 8$.

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от 0?

Данное уравнение $ax + by = c$ является общим видом линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$. Условие, что хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от нуля, является ключевым для определения вида графика. Рассмотрим все возможные случаи, которые охватывает это условие.

1. Случай, когда коэффициент $b \neq 0$
Если коэффициент $b$ не равен нулю, мы можем преобразовать исходное уравнение, выразив переменную $y$ через $x$:$by = -ax + c$
Разделив обе части уравнения на $b$ (что возможно, так как $b \neq 0$), получим:$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Это уравнение вида $y = kx + m$, которое является уравнением прямой в форме с угловым коэффициентом. Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{a}{b}$, а ордината точки пересечения с осью $Oy$ равна $m = \frac{c}{b}$. Графиком такого уравнения всегда является прямая линия.
В частности, если в этом случае $a = 0$, уравнение примет вид $y = \frac{c}{b}$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$).

2. Случай, когда коэффициент $b = 0$
Если $b = 0$, то согласно условию задачи, коэффициент $a$ должен быть отличен от нуля ($a \neq 0$). В этом случае исходное уравнение принимает вид:$ax + 0 \cdot y = c$
$ax = c$
Разделив обе части на $a$ (что возможно, так как $a \neq 0$), получим:$x = \frac{c}{a}$
Это уравнение задает вертикальную прямую, все точки которой имеют одинаковую абсциссу $x = \frac{c}{a}$ при любом значении ординаты $y$. Вертикальная линия — это также частный случай прямой.

Таким образом, во всех возможных случаях, когда хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, графиком уравнения $ax + by = c$ является прямая.

Ответ: Прямая.

4 Как решить уравнение $5x + 2y = 9$ относительно $y$? Найдите угловой коэффициент прямой, заданной этим уравнением.

Как решить уравнение 5x + 2y = 9 относительно y?

Чтобы решить уравнение $5x + 2y = 9$ относительно переменной $y$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований, чтобы изолировать $y$ в одной части уравнения.

1. Исходное уравнение:

$5x + 2y = 9$

2. Первым шагом перенесем слагаемое $5x$ из левой части в правую. Для этого вычтем $5x$ из обеих частей уравнения:

$2y = 9 - 5x$

3. Теперь, чтобы выразить $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 2:

$y = \frac{9 - 5x}{2}$

4. Для приведения уравнения к стандартному виду прямой с угловым коэффициентом ($y = kx + b$), разделим почленно числитель на знаменатель и поменяем слагаемые местами:

$y = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}x \implies y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$

Ответ: $y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$

Найдите угловой коэффициент прямой, заданной этим уравнением.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ – это и есть угловой коэффициент, который показывает тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox).

В предыдущем пункте мы уже привели исходное уравнение к этому виду:

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$

Сравнивая полученное уравнение с общей формой $y = kx + b$, легко определить, что коэффициент при $x$ (то есть $k$) равен $-\frac{5}{2}$.

Ответ: $-\frac{5}{2}$

5 Прямые, изображённые на рисунке 8.18, могут быть заданы уравнениями вида $y = kx$. Для каждой прямой укажите знак коэффициента $k$.

a

$k < 0$

b

$k > 0$

c

$k > 0$

d

$k < 0$

Рис. 8.18

Все прямые на рисунке заданы уравнениями вида $y = kx$. Это уравнение прямой пропорциональности, и график такой функции всегда проходит через начало координат. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой относительно оси абсцисс (оси $x$).

Знак коэффициента $k$ можно определить по расположению прямой на координатной плоскости:

• Если прямая проходит через I и III координатные четверти (то есть, она "поднимается" слева направо), то функция является возрастающей, и ее коэффициент $k$ положителен ($k > 0$).
• Если прямая проходит через II и IV координатные четверти (то есть, она "опускается" слева направо), то функция является убывающей, и ее коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).

Определим знак коэффициента $k$ для каждой из заданных прямых.

a

Прямая a расположена во II и IV координатных четвертях. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (функция убывает). Следовательно, угловой коэффициент этой прямой отрицателен.
Ответ: $k < 0$

b

Прямая b расположена в I и III координатных четвертях. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (функция возрастает). Следовательно, угловой коэффициент этой прямой положителен.
Ответ: $k > 0$

c

Прямая c расположена в I и III координатных четвертях. Это означает, что функция возрастает. Следовательно, угловой коэффициент этой прямой положителен.
Ответ: $k > 0$

d

Прямая d расположена во II и IV координатных четвертях. Это означает, что функция убывает. Следовательно, угловой коэффициент этой прямой отрицателен.
Ответ: $k < 0$

6 Каков геометрический смысл коэффициента $l$ в уравнении $y = kx + l$?

В какой точке пересекает ось $y$ прямая $y = 3x - 10$?

Каков геометрический смысл коэффициента l в уравнении y = kx + l?
Уравнение прямой вида $y = kx + l$ является уравнением с угловым коэффициентом. В этом уравнении коэффициент $k$ отвечает за угол наклона прямой, а коэффициент $l$ имеет следующий геометрический смысл: он является ординатой (координатой $y$) точки пересечения прямой с осью ординат ($Oy$).
Чтобы доказать это, найдем точку пересечения прямой $y = kx + l$ с осью $y$. Любая точка, лежащая на оси $y$, имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим $x=0$ в уравнение нашей прямой:
$y = k \cdot 0 + l$
$y = 0 + l$
$y = l$
Таким образом, прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, l)$. Это означает, что коэффициент $l$ численно равен ординате точки пересечения графика функции с осью $y$.
Ответ: Коэффициент $l$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

В какой точке пересекает ось y прямая y = 3x - 10?
Чтобы найти точку пересечения прямой с осью $y$, необходимо найти значение $y$ при $x=0$.
Рассмотрим уравнение прямой: $y = 3x - 10$.
Подставим в него значение $x=0$:
$y = 3 \cdot (0) - 10$
$y = 0 - 10$
$y = -10$
Следовательно, прямая пересекает ось $y$ в точке, где абсцисса равна 0, а ордината равна -10.
Ответ: Прямая $y = 3x - 10$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -10)$.

7 Сформулируйте условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + l$. Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые.

Условие параллельности двух прямых
Уравнение прямой вида $y = kx + l$ является уравнением с угловым коэффициентом. Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой относительно оси абсцисс, а коэффициент $l$ (свободный член) — точку пересечения прямой с осью ординат.
Две различные прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый наклон. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны. Чтобы прямые были именно параллельными, а не совпадающими, их точки пересечения с осью ординат должны быть разными, то есть их свободные члены должны быть не равны.
Таким образом, для двух прямых, заданных уравнениями $y_1 = k_1x + l_1$ и $y_2 = k_2x + l_2$, условие параллельности имеет вид: $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$.
Если же $k_1 = k_2$ и $l_1 = l_2$, то уравнения задают одну и ту же прямую (прямые совпадают).
Ответ: Две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$, параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены не равны, то есть $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$.

Примеры уравнений, задающих параллельные прямые
Чтобы составить примеры, необходимо взять два уравнения с одинаковым угловым коэффициентом $k$ и разными свободными членами $l$.

Пример 1:
Возьмем прямые $y = 2x + 5$ и $y = 2x - 3$.
Здесь угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 2$.
Свободные члены не равны: $l_1 = 5$, $l_2 = -3$.
Так как $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$, прямые параллельны.

Пример 2:
Возьмем прямые $y = -x + 7$ и $y = -x$.
Здесь угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = -1$.
Свободные члены не равны: $l_1 = 7$, $l_2 = 0$.
Так как $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$, прямые параллельны.

Ответ: Примеры пар уравнений, задающих параллельные прямые: $y = 5x + 1$ и $y = 5x + 10$; $y = -3x - 2$ и $y = -3x + 4$.

8 Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными? Является ли решением системы уравнений $\begin{cases} x + 2y = -5, \\ x - y = 7 \end{cases}$ пара чисел (3; -4); (-1; -2)?

Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными?
Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство. То есть, чтобы пара чисел была решением системы, она должна быть решением каждого из уравнений, входящих в эту систему.
Ответ: упорядоченная пара чисел, которая является решением каждого из уравнений системы.

Является ли решением системы уравнений $\begin{cases} x + 2y = -5, \\ x - y = 7 \end{cases}$ пара чисел (3; -4); (-1; -2)?
Для проверки необходимо подставить каждую пару чисел в оба уравнения системы.

1. Проверка пары $(3; -4)$
Подставляем $x=3$ и $y=-4$ в каждое уравнение системы:
Первое уравнение: $x + 2y = -5 \implies 3 + 2 \cdot (-4) = 3 - 8 = -5$. Получено верное равенство: $-5 = -5$.
Второе уравнение: $x - y = 7 \implies 3 - (-4) = 3 + 4 = 7$. Получено верное равенство: $7 = 7$.
Так как пара чисел $(3; -4)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

2. Проверка пары $(-1; -2)$
Подставляем $x=-1$ и $y=-2$ в каждое уравнение системы:
Первое уравнение: $x + 2y = -5 \implies -1 + 2 \cdot (-2) = -1 - 4 = -5$. Получено верное равенство: $-5 = -5$.
Второе уравнение: $x - y = 7 \implies -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$. Получено неверное равенство: $1 \neq 7$.
Так как пара чисел $(-1; -2)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы.
Ответ: пара чисел $(3; -4)$ является решением системы, а пара $(-1; -2)$ — не является.