Номер 8.42, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.42 Прогулочный теплоход проходит 130 км за 2 ч по течению реки и 1 ч против её течения. Известно, что этот же теплоход за 2 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 1 ч по течению. Найдите скорость теплохода по течению реки и его скорость против течения реки.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v_{по}$ — это искомая скорость теплохода по течению реки (в км/ч), а $v_{пр}$ — его скорость против течения реки (в км/ч).

Из первого условия известно, что прогулочный теплоход проходит 130 км за 2 часа по течению реки и 1 час против её течения. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Таким образом, расстояние, пройденное по течению, составляет $2 \cdot v_{по}$ км, а расстояние, пройденное против течения, — $1 \cdot v_{пр}$ км. Сумма этих расстояний равна 130 км. Составим первое уравнение: $2v_{по} + v_{пр} = 130$

Из второго условия известно, что этот же теплоход за 2 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 1 час по течению. Расстояние, пройденное за 2 часа против течения, равно $2 \cdot v_{пр}$ км. Расстояние, пройденное за 1 час по течению, равно $1 \cdot v_{по}$ км. Разница между этими расстояниями составляет 35 км. Составим второе уравнение: $2v_{пр} - v_{по} = 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 2v_{по} + v_{пр} = 130 \\ 2v_{пр} - v_{по} = 35 \end{cases} $$

Для решения системы выразим $v_{по}$ из второго уравнения: $v_{по} = 2v_{пр} - 35$

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $2(2v_{пр} - 35) + v_{пр} = 130$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_{пр}$: $4v_{пр} - 70 + v_{пр} = 130$
$5v_{пр} = 130 + 70$
$5v_{пр} = 200$
$v_{пр} = \frac{200}{5}$
$v_{пр} = 40$

Таким образом, скорость теплохода против течения реки составляет 40 км/ч.

Теперь найдем скорость теплохода по течению, подставив найденное значение $v_{пр}$ в выражение для $v_{по}$: $v_{по} = 2 \cdot 40 - 35$
$v_{по} = 80 - 35$
$v_{по} = 45$

Следовательно, скорость теплохода по течению реки составляет 45 км/ч.

Выполним проверку.
1. Общее расстояние: $2 \text{ ч} \cdot 45 \text{ км/ч} + 1 \text{ ч} \cdot 40 \text{ км/ч} = 90 \text{ км} + 40 \text{ км} = 130$ км. (Верно)
2. Разница в расстояниях: $(2 \text{ ч} \cdot 40 \text{ км/ч}) - (1 \text{ ч} \cdot 45 \text{ км/ч}) = 80 \text{ км} - 45 \text{ км} = 35$ км. (Верно)

Ответ: скорость теплохода по течению реки — 45 км/ч, а его скорость против течения реки — 40 км/ч.