Номер 8.36, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разберите, как решена система уравнений, и примените этот приём для решения систем:

8.36 a) $\begin{cases} 3u - 4v = 2, \\ 9u - 5v = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6m - 9n = -4, \\ 2m + 5n = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5y + 8z = 21, \\ 10y - 3z = -15. \end{cases}$

а) Решим систему: $ \begin{cases} 3u - 4v = 2 \\ 9u - 5v = 7 \end{cases} $
Применим метод алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на -3, чтобы при сложении со вторым уравнением коэффициент при переменной u стал равен нулю.
$-3(3u - 4v) = -3(2) \implies -9u + 12v = -6$.
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-9u + 12v) + (9u - 5v) = -6 + 7$
$7v = 1 \implies v = \frac{1}{7}$.
Подставим найденное значение v в первое исходное уравнение, чтобы найти u:
$3u - 4(\frac{1}{7}) = 2$
$3u = 2 + \frac{4}{7}$
$3u = \frac{14}{7} + \frac{4}{7} = \frac{18}{7}$
$u = \frac{18}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $u = \frac{6}{7}, v = \frac{1}{7}$.

б) Решим систему: $ \begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ 2m + 5n = 4 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на -3, чтобы при сложении с первым уравнением сократилась переменная m.
$-3(2m + 5n) = -3(4) \implies -6m - 15n = -12$.
Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(6m - 9n) + (-6m - 15n) = -4 + (-12)$
$-24n = -16 \implies n = \frac{-16}{-24} = \frac{2}{3}$.
Подставим найденное значение n во второе исходное уравнение:
$2m + 5(\frac{2}{3}) = 4$
$2m = 4 - \frac{10}{3}$
$2m = \frac{12}{3} - \frac{10}{3} = \frac{2}{3}$
$m = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $m = \frac{1}{3}, n = \frac{2}{3}$.

в) Решим систему: $ \begin{cases} 5y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении со вторым уравнением сократилась переменная y.
$-2(5y + 8z) = -2(21) \implies -10y - 16z = -42$.
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-10y - 16z) + (10y - 3z) = -42 + (-15)$
$-19z = -57 \implies z = \frac{-57}{-19} = 3$.
Подставим найденное значение z в первое исходное уравнение:
$5y + 8(3) = 21$
$5y + 24 = 21$
$5y = 21 - 24 = -3$
$y = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $y = -\frac{3}{5}, z = 3$.