Номер 8.34, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.34 a) На участке прямоугольной формы, периметр которого равен 140 м, разность длин двух сторон равна 50 м. Найдите размеры участка.

б) Брат и сестра, работая в каникулы на почте, заработали 5000 р. Брат заработал на 600 р. больше сестры. Сколько заработал каждый?

а)

Обозначим длину и ширину прямоугольного участка как a и b соответственно.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон, что выражается формулой $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 140 м.

$2(a + b) = 140$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму длин сторон:

$a + b = 70$

Также по условию, разность длин двух сторон равна 50 м. Предположим, что a — это большая сторона, тогда:

$a - b = 50$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 70 \\ a - b = 50 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти значение a:

$(a + b) + (a - b) = 70 + 50$

$2a = 120$

$a = \frac{120}{2} = 60$ м.

Теперь, зная a, найдем b, подставив значение a в первое уравнение системы:

$60 + b = 70$

$b = 70 - 60 = 10$ м.

Проверим: разность сторон $60 - 10 = 50$ м, что соответствует условию.

Ответ: размеры участка 60 м и 10 м.

б)

Пусть x — сумма, которую заработал брат, а y — сумма, которую заработала сестра.

Вместе они заработали 5000 р., что можно записать в виде уравнения:

$x + y = 5000$

Брат заработал на 600 р. больше сестры, что дает нам второе уравнение:

$x = y + 600$, или $x - y = 600$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5000 \\ x - y = 600 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 5000 + 600$

$2x = 5600$

$x = \frac{5600}{2} = 2800$ р.

Итак, брат заработал 2800 р. Чтобы найти заработок сестры, подставим значение x в первое уравнение:

$2800 + y = 5000$

$y = 5000 - 2800 = 2200$ р.

Проверим: заработок брата на $2800 - 2200 = 600$ р. больше заработка сестры, что соответствует условию.

Ответ: брат заработал 2800 р., а сестра — 2200 р.