Номер 9, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9 На примере системы уравнений $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом сложения.

Метод сложения для решения систем линейных уравнений заключается в том, чтобы путём преобразований уравнений исключить одну из переменных. Для этого добиваются того, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами. Затем уравнения почленно складывают, что приводит к уравнению с одной переменной.

Продемонстрируем этот метод на примере системы:

Шаг 1: Подготовка к сложению

Цель этого шага — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. В данной системе коэффициенты при переменной $y$ равны $-1$ (в первом уравнении) и $+2$ (во втором). Чтобы они стали противоположными, достаточно умножить все члены первого уравнения на $2$.

Умножим первое уравнение $2x - y = 3$ на $2$:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 3$

$4x - 2y = 6$

Теперь система уравнений приобрела вид, удобный для сложения:

Шаг 2: Сложение уравнений

Теперь выполним почленное сложение левых и правых частей уравнений системы:

$(4x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 16$

При сложении слагаемые $-2y$ и $+2y$ взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение, содержащее только одну переменную $x$:

$4x + 7x = 22$

$11x = 22$

Шаг 3: Нахождение значения одной переменной

Решим полученное простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 4: Нахождение значения второй переменной

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем найти $y$, подставив $x=2$ в любое из исходных уравнений. Например, подставим в первое уравнение $2x - y = 3$:

$2(2) - y = 3$

$4 - y = 3$

Перенесем $4$ в правую часть:

$-y = 3 - 4$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, мы нашли решение системы: $x=2$, $y=1$.

Шаг 5: Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденную пару чисел $(2; 1)$ в оба исходных уравнения.

Проверка для первого уравнения: $2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Равенство $3=3$ верное.

Проверка для второго уравнения: $7(2) + 2(1) = 14 + 2 = 16$. Равенство $16=16$ верное.

Оба равенства верны, значит, система решена правильно.

Ответ: $(2; 1)$