Номер 11, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

11 Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases}$;

2) $\begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8 \end{cases}$;

3) $\begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -24 \end{cases}$.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными графически представляет собой две прямые на плоскости. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих прямых. Возможны три случая:

• Единственное решение: прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны.
• Нет решений: прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью y — различны.
• Бесконечное множество решений: прямые совпадают. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью y у них одинаковы.

Для анализа приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – смещение по оси y.

1) Рассмотрим систему $\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 6x - 2y = 10; \end{cases}$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

Первое уравнение: $3x - y = 5 \implies -y = -3x + 5 \implies y = 3x - 5$.
Угловой коэффициент $k_1 = 3$, смещение $b_1 = -5$.

Второе уравнение: $6x - 2y = 10 \implies -2y = -6x + 10 \implies y = \frac{-6x + 10}{-2} \implies y = 3x - 5$.
Угловой коэффициент $k_2 = 3$, смещение $b_2 = -5$.

Поскольку $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, графики уравнений (прямые) полностью совпадают.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

2) Рассмотрим систему $\begin{cases} 4x - y = 8, \\ 8x - y = 8; \end{cases}$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

Первое уравнение: $4x - y = 8 \implies -y = -4x + 8 \implies y = 4x - 8$.
Угловой коэффициент $k_1 = 4$, смещение $b_1 = -8$.

Второе уравнение: $8x - y = 8 \implies -y = -8x + 8 \implies y = 8x - 8$.
Угловой коэффициент $k_2 = 8$, смещение $b_2 = -8$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: система имеет единственное решение.

3) Рассмотрим систему $\begin{cases} y = 3x + 9, \\ 6x - 2y = -24; \end{cases}$

Первое уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$.
Угловой коэффициент $k_1 = 3$, смещение $b_1 = 9$.

Приведем второе уравнение к этому виду: $6x - 2y = -24 \implies -2y = -6x - 24 \implies y = \frac{-6x - 24}{-2} \implies y = 3x + 12$.
Угловой коэффициент $k_2 = 3$, смещение $b_2 = 12$.

Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а смещения различны ($b_1 \neq b_2$), прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.