Номер 6, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 5x + 2y = 8, \\ 3x - y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 4y = 13, \\ 5x + 2y = 17. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 8, \\ 3x - y = 7. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Сначала выразим переменную y из второго уравнения:

$3x - y = 7$

Перенесем $3x$ в правую часть:

$-y = 7 - 3x$

Умножим обе части уравнения на -1:

$y = 3x - 7$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$5x + 2(3x - 7) = 8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:

$5x + 6x - 14 = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$11x - 14 = 8$

Перенесем -14 в правую часть:

$11x = 8 + 14$

$11x = 22$

Найдем x:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Теперь, зная значение x, найдем соответствующее значение y, подставив $x=2$ в ранее полученное выражение $y = 3x - 7$:

$y = 3 \cdot 2 - 7$

$y = 6 - 7$

$y = -1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 13, \\ 5x + 2y = 17. \end{cases} $

Эту систему удобно решать методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$-2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 17$

$-10x - 4y = -34$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 13, \\ -10x - 4y = -34. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений системы:

$(3x + 4y) + (-10x - 4y) = 13 + (-34)$

$3x - 10x + 4y - 4y = 13 - 34$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x = -21$

Найдем x:

$x = \frac{-21}{-7}$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти y:

$5x + 2y = 17$

$5 \cdot 3 + 2y = 17$

$15 + 2y = 17$

Перенесем 15 в правую часть:

$2y = 17 - 15$

$2y = 2$

Найдем y:

$y = 1$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(3; 1)$.

Ответ: $(3; 1)$.