Номер 8, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Чему вы научились. Глава 8. Системы уравнений - номер 8, страница 240.

Условие.

8 Составьте систему уравнений и решите задачу. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 280 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 210 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?

Для решения задачи можно составить следующую систему уравнений:

$\begin{cases}3k + 5a = 280 \\6k + 3a = 210\end{cases}$

Решение 6.

Для решения задачи необходимо составить и решить систему уравнений. Введем переменные:

Пусть $x$ — стоимость одного карандаша в рублях.
Пусть $y$ — стоимость одной авторучки в рублях.

Исходя из условий задачи, составим уравнения:

1. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 280 рублей. Это можно записать как:$3x + 5y = 280$

2. Шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 210 рублей. Это можно записать как:$6x + 3y = 210$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$\begin{cases} 3x + 5y = 280 \\ 6x + 3y = 210\end{cases}$$

Решение:

Решим данную систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях стали противоположными числами.$$-2 \cdot (3x + 5y) = -2 \cdot 280 \\-6x - 10y = -560$$

Теперь система выглядит следующим образом:$$\begin{cases} -6x - 10y = -560 \\ 6x + 3y = 210\end{cases}$$

Сложим левые и правые части уравнений:$$(-6x - 10y) + (6x + 3y) = -560 + 210 \\-7y = -350$$

Теперь найдем значение $y$:$$y = \frac{-350}{-7} \\y = 50$$Следовательно, стоимость одной авторучки составляет 50 рублей.

Подставим найденное значение $y=50$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти стоимость карандаша $x$:$$3x + 5(50) = 280 \\3x + 250 = 280 \\3x = 280 - 250 \\3x = 30 \\x = \frac{30}{3} \\x = 10$$Следовательно, стоимость одного карандаша составляет 10 рублей.

Ответ: карандаш стоит 10 рублей, а авторучка — 50 рублей.