Номер 10, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

10 На примере системы уравнений $\begin{cases} 3x - 4y = 5, \\ x - 3y = 0 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом подстановки.

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную из одного уравнения системы и подставить это выражение в другое уравнение. Это позволяет свести систему из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной. Рассмотрим этот метод на примере системы: $ \begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ x - 3y = 0 \end{cases} $

Шаг 1. Выразить одну переменную через другую.
Посмотрим на оба уравнения. Во втором уравнении, $x - 3y = 0$, переменная $x$ имеет коэффициент 1, поэтому ее легче всего выразить. Перенесем $-3y$ в правую часть уравнения, изменив знак.
$x = 3y$
Ответ: Мы получили выражение для $x$ через $y$: $x = 3y$.

Шаг 2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.
Теперь возьмем первое уравнение системы, $3x - 4y = 5$, и вместо переменной $x$ подставим полученное на первом шаге выражение $3y$. Важно подставлять выражение в скобках, чтобы не ошибиться в вычислениях.
$3(3y) - 4y = 5$
Таким образом, мы получили уравнение с одной переменной $y$.
Ответ: Уравнение после подстановки: $3(3y) - 4y = 5$.

Шаг 3. Решить полученное уравнение.
Решим уравнение $3(3y) - 4y = 5$ относительно переменной $y$.
Раскроем скобки: $9y - 4y = 5$
Приведем подобные слагаемые: $5y = 5$
Найдем $y$: $y = \frac{5}{5}$
$y = 1$
Ответ: Мы нашли значение переменной $y$: $y = 1$.

Шаг 4. Найти значение второй переменной.
Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем найти значение $x$. Для этого вернемся к выражению, которое мы получили на первом шаге: $x = 3y$. Подставим в него найденное значение $y=1$.
$x = 3 \cdot 1$
$x = 3$
Ответ: Мы нашли значение переменной $x$: $x = 3$.

Шаг 5. Записать ответ.
Решением системы уравнений является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(3; 1)$.
Для уверенности можно выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
1) $3(3) - 4(1) = 9 - 4 = 5$. (Верно)
2) $3 - 3(1) = 3 - 3 = 0$. (Верно)
Оба уравнения обратились в верные равенства, значит, система решена правильно.
Ответ: $(3; 1)$.