Номер 9.8, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.2. График функции. Глава 9. Функции - номер 9.8, страница 250.

Условие.

9.8 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Маша посадила подсолнух и в течение 12 недель вела наблюдение за его ростом, измеряя длину стебля в конце каждой недели. Результаты её наблюдений представлены в следующей таблице:

Рис. 9.7

t, нед.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
h, см	20	37	73	100	140	175	200	225	240	250	255	260

Постройте график функции $h = f(t)$, где $t$ — время (нед.), $h$ — длина стебля (см). Используя график, ответьте на вопросы:

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи сначала построим график зависимости высоты подсолнуха $h$ (в см) от времени $t$ (в неделях). Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отложим время $t$, а по оси ординат — высоту $h$. Отметим точки, координаты которых даны в таблице: $(1; 20)$, $(2; 37)$, $(3; 73)$, $(4; 100)$, $(5; 140)$, $(6; 175)$, $(7; 200)$, $(8; 225)$, $(9; 240)$, $(10; 250)$, $(11; 255)$, $(12; 260)$. Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $h = f(t)$.

Теперь, используя данные таблицы и построенный график, ответим на вопросы.

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

Чтобы найти длину стебля в определенный момент времени, нужно найти на графике точку, соответствующую этому времени, и определить ее ординату (значение $h$).

Через 3,5 недели: На оси времени $t$ находим значение 3,5 (середина между 3 и 4). В конце 3-й недели высота была 73 см, а в конце 4-й — 100 см. Длина стебля через 3,5 недели будет примерно равна среднему арифметическому этих значений: $(73 + 100) / 2 = 86,5$ см. По графику это будет точка с координатами примерно $(3.5; 87)$.

Через 6,5 недели: На оси времени $t$ находим значение 6,5 (середина между 6 и 7). В конце 6-й недели высота была 175 см, а в конце 7-й — 200 см. Примерная длина стебля: $(175 + 200) / 2 = 187,5$ см. По графику это будет точка с координатами примерно $(6.5; 188)$.

Ответ: Через 3,5 недели длина стебля была примерно 87 см; через 6,5 недели — примерно 188 см.

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

Чтобы найти время, когда стебель достиг определенной длины, нужно найти на оси высоты $h$ это значение и определить абсциссу (значение $t$) соответствующей точки на графике.

Высота 50 см: Эта высота находится между значениями на конец 2-й недели (37 см) и 3-й недели (73 см). За третью неделю подсолнух вырос на $73 - 37 = 36$ см. Чтобы достичь 50 см, ему нужно было вырасти на $50 - 37 = 13$ см после окончания второй недели. Это составляет $13/36$ от третьей недели. В неделе 7 дней, значит, это примерно $(13 / 36) \times 7 \approx 2,5$ дня. Таким образом, это произошло через 2 недели и 2-3 дня, то есть на $14 + 3 = 17$-й день.

Высота 210 см: Эта высота находится между значениями на конец 7-й недели (200 см) и 8-й недели (225 см). За восьмую неделю подсолнух вырос на $225 - 200 = 25$ см. Чтобы достичь 210 см, ему нужно было вырасти на $210 - 200 = 10$ см после окончания седьмой недели. Это составляет $10/25 = 0,4$ от восьмой недели. В днях это $(10 / 25) \times 7 = 2,8$ дня. То есть, это произошло через 7 недель и примерно 3 дня. В днях это $7 \times 7 + 3 = 52$-й день.

Ответ: Длина стебля достигла 50 см примерно на 17-й день; 210 см — примерно на 52-й день.

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

Скорость роста — это изменение высоты за неделю. На графике это соответствует наибольшему и наименьшему "наклону" кривой. Вычислим прирост за каждую неделю:

• За 2-ю неделю: $37 - 20 = 17$ см
• За 3-ю неделю: $73 - 37 = 36$ см
• За 4-ю неделю: $100 - 73 = 27$ см
• За 5-ю неделю: $140 - 100 = 40$ см
• За 6-ю неделю: $175 - 140 = 35$ см
• За 7-ю неделю: $200 - 175 = 25$ см
• За 8-ю неделю: $225 - 200 = 25$ см
• За 9-ю неделю: $240 - 225 = 15$ см
• За 10-ю неделю: $250 - 240 = 10$ см
• За 11-ю неделю: $255 - 250 = 5$ см
• За 12-ю неделю: $260 - 255 = 5$ см

Максимальный прирост составил 40 см за 5-ю неделю. Минимальный прирост — 5 см за 11-ю и 12-ю недели.

Ответ: Быстрее всего подсолнух рос в 5-ю неделю, а медленнее всего — в 11-ю и 12-ю недели.

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

Найдем общий прирост за два периода.

Прирост за первые четыре недели (с начала наблюдений до конца 4-й недели): высота в конце 4-й недели составила 100 см. (Предполагая, что в $t=0$ высота была $h=0$).

Прирост за следующие четыре недели (с конца 4-й по конец 8-й недели): $h(8) - h(4) = 225 - 100 = 125$ см.

Сравнивая приросты, видим, что $125 \text{ см} > 100 \text{ см}$.

Ответ: Рост растения был интенсивнее в следующие четыре недели (с 5-й по 8-ю).

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Нам нужно найти момент времени $t$, когда высота подсолнуха $h$ стала больше 152 см.

Посмотрим на таблицу:

• В конце 5-й недели высота была 140 см (ниже Маши).
• В конце 6-й недели высота была 175 см (уже выше Маши).

Это означает, что подсолнух перерос Машу в течение 6-й недели.

Ответ: Подсолнух перерос Машу в течение шестой недели наблюдений.