Номер 9.16, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.16 Постройте график функции:

а) $f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \ge 0, \\ 0 \text{ при } x < 0; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 0, \\ -x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной, то есть она определяется разными формулами на разных участках своей области определения.

1. Рассмотрим первую часть функции: $f(x) = x$ при $x \ge 0$. Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Поскольку нас интересует только участок, где $x \ge 0$, мы строим ту часть этой прямой, которая находится в I координатном угле. Это луч, выходящий из точки (0, 0) и проходящий, например, через точку (1, 1), (2, 2) и т.д. Точка (0,0) принадлежит этому участку графика.

2. Рассмотрим вторую часть функции: $f(x) = 0$ при $x < 0$. Графиком функции $y=0$ является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox). Условие $x < 0$ означает, что мы берем только ту часть этой прямой, которая находится левее оси ординат (оси Oy). Это луч, идущий по отрицательной части оси Ox и заканчивающийся в точке (0, 0), причем сама точка (0,0) этому участку не принадлежит (она "выколота", так как $x$ строго меньше 0).

3. Объединим обе части на одной координатной плоскости. График состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. В точке $x=0$ разрыва нет, так как по первому правилу $f(0) = 0$, а предел функции по второму правилу при $x \to 0$ также равен 0.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки (0, 0). Один луч совпадает с отрицательной полуосью Ox (для $x<0$), а второй является лучом $y=x$ в первой координатной четверти (для $x \ge 0$).

б)

Эта функция также является кусочно-заданной.

1. Рассмотрим первую часть: $f(x) = x^2$ при $x \ge 0$. Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $x \ge 0$ означает, что мы строим только правую ветвь этой параболы, расположенную в I координатном угле. Эта часть графика проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 4).

2. Рассмотрим вторую часть: $f(x) = -x$ при $x < 0$. Графиком функции $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов. Условие $x < 0$ означает, что мы строим ту часть этой прямой, которая расположена во II координатном угле (где $x$ отрицателен, а $y$ положителен). Это луч, выходящий из точки (0, 0) (не включая ее) и проходящий через точки (-1, 1), (-2, 2) и т.д.

3. Объединим обе части. В точке $x=0$ график непрерывен, так как значение функции по первой формуле $f(0)=0^2=0$, а предел по второй формуле $\lim_{x\to 0^-}(-x) = 0$. Таким образом, обе части графика плавно соединяются в начале координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке (0, 0). При $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первой координатной четверти. При $x < 0$ это луч $y=-x$, расположенный во второй координатной четверти.