Страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.33 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Самолёт начал снижение на высоте 8500 м. На графике (рис. 9.21) показано изменение его высоты над землёй в первые 20 мин снижения. Перечертите график в тетрадь и подберите прямую, вокруг которой укладываются эти точки. Определите, сколько примерно минут длилось снижение самолёта и какова была средняя скорость снижения (в м/мин).

$h$, тыс. м

$t$, мин

Рис. 9.21

Для решения задачи необходимо аппроксимировать данные точки на графике прямой линией (построить линию тренда), которая описывает зависимость высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в минутах). Уравнение этой прямой имеет вид $h(t) = kt + b$, где $k$ – скорость снижения, а $b$ – начальная высота.

1. Построение прямой (линии тренда)

Из условия задачи следует, что самолёт начал снижение с высоты 8500 м. Это соответствует точке $(0; 8500)$ на графике. Таким образом, начальная высота $b = 8500$ м.

Для определения коэффициента $k$ (скорости снижения) необходимо провести прямую так, чтобы она наилучшим образом отражала общую тенденцию расположения точек. Возьмём начальную точку $(0; 8500)$ и подберём вторую точку, через которую пройдёт наша прямая. Судя по графику, за 20 минут полёта самолёт снижается до высоты примерно 2000 м. Возьмём эту точку $(20; 2000)$ для расчёта.

Угловой коэффициент $k$ равен отношению изменения высоты к изменению времени:

$k = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{2000 - 8500}{20 - 0} = \frac{-6500}{20} = -325$ м/мин.

Знак "минус" показывает, что высота уменьшается. Таким образом, уравнение, описывающее снижение самолёта, имеет вид: $h(t) = 8500 - 325t$.

2. Определите, сколько примерно минут длилось снижение самолёта

Снижение завершится, когда высота самолёта станет равной нулю, то есть $h(t)=0$. Подставим это значение в полученное уравнение и найдём время $t$:

$0 = 8500 - 325t$

$325t = 8500$

$t = \frac{8500}{325} = \frac{340}{13} \approx 26.15$ минут.

Так как требуется найти примерное время, округлим результат. Снижение длилось примерно 26 минут.

Ответ: примерно 26 минут.

3. Определите, какова была средняя скорость снижения (в м/мин)

Средняя скорость снижения в построенной линейной модели — это постоянная величина, равная модулю углового коэффициента $k$.

$v_{ср} = |k| = |-325 \text{ м/мин}| = 325$ м/мин.

Также среднюю скорость можно найти, разделив общую высоту на общее время снижения:

$v_{ср} = \frac{8500 \text{ м}}{26.15 \text{ мин}} \approx 325$ м/мин.

Ответ: примерно 325 м/мин.

9.34 На графике (рис. 9.22) показаны данные о числе туристов, для которых фирма «Отпуск» организовала путешествие за период с 2008 по 2016 г. Перечертите этот график в тетрадь и проведите прямую, аппроксимирующую эти данные. Сколько путешествий можно было ожидать в 2019 г. при условии сохранения этой тенденции?

Туристы,
тыс. чел.

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

2008

2012

2016

2020

Год

Рис. 9.22

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: 1) на основе данных на графике построить аппроксимирующую прямую (линию тренда) и найти ее уравнение; 2) используя это уравнение, сделать прогноз на 2019 год.

Сначала определим координаты точек на графике, где по оси X отложен год, а по оси Y – количество туристов в тысячах человек. Отметим, что хотя в условии указан период с 2008 по 2016 год, на графике представлены данные до 2018 года включительно. Для большей точности аппроксимации и прогноза будем использовать все имеющиеся на графике точки.

Координаты точек на графике: (2008; 1,0), (2009; 1,7), (2010; 1,8), (2011; 2,0), (2012; 1,5), (2013; 2,0), (2014; 2,5), (2015; 2,5), (2016; 2,5), (2017; 2,8), (2018; 3,0).

Аппроксимирующую прямую (линию тренда) можно провести «на глаз» так, чтобы она проходила как можно ближе ко всем точкам, и чтобы примерно одинаковое количество точек находилось по обе стороны от прямой. Для удобства расчетов введем переменную $t$, обозначающую номер года, начиная с 2008. То есть, для 2008 года $t=0$, для 2009 года $t=1$, и так далее. Уравнение прямой имеет вид $y = mt + c$, где $y$ – число туристов (тыс. чел.), а $t$ – год ($t = \text{Год} - 2008$).

Попробуем провести прямую через две удаленные точки, например, первую (2008 г.) и последнюю (2018 г.). Их координаты в новой системе $(t, y)$ будут $(0; 1,0)$ и $(10; 3,0)$. Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой $m$: $m = \frac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1} = \frac{3,0 - 1,0}{10 - 0} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Так как прямая проходит через точку $(0; 1,0)$, ее свободный член $c$ (точка пересечения с осью Y) равен 1,0. Таким образом, уравнение аппроксимирующей прямой: $y = 0,2t + 1,0$.

Проверим, насколько хорошо эта прямая описывает остальные данные. Например, для 2013 года ($t=5$) расчетное значение $y = 0,2 \times 5 + 1,0 = 2,0$, что совпадает с точкой на графике (2013; 2,0). Для 2017 года ($t=9$) расчетное значение $y = 0,2 \times 9 + 1,0 = 2,8$, что также совпадает с точкой (2017; 2,8). Эта прямая проходит точно через четыре точки из одиннадцати, что является очень хорошим приближением.

Ответ: Аппроксимирующая прямая может быть описана уравнением $y = 0,2 \times (\text{Год} - 2008) + 1,0$, где $y$ - количество туристов в тыс. чел.

Для прогноза на 2019 год воспользуемся найденным уравнением прямой $y = 0,2t + 1,0$. Сначала найдем значение $t$ для 2019 года: $t = 2019 - 2008 = 11$.

Теперь подставим это значение в уравнение, чтобы найти прогнозируемое число туристов $y$: $y = 0,2 \times 11 + 1,0 = 2,2 + 1,0 = 3,2$.

Значение $y$ измеряется в тысячах человек. Следовательно, ожидаемое количество туристов составляет $3,2$ тысячи. $3,2 \times 1000 = 3200$ человек.

Ответ: В 2019 году можно было ожидать 3,2 тысячи путешествий (3200).

1 Задайте формулой зависимость объёма куба $V$ от длины его ребра $a$. Какая переменная в этом примере является функцией, а какая — аргументом? Укажите область определения данной функции.

Задайте формулой зависимость объёма куба V от длины его ребра a.

Объём куба вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. Поскольку у куба все рёбра имеют одинаковую длину $a$, его объём $V$ равен длине ребра, возведённой в третью степень. Таким образом, зависимость объёма куба от длины его ребра задаётся следующей формулой:

$V = a^3$

Ответ: $V = a^3$.

Какая переменная в этом примере является функцией, а какая — аргументом?

В данной зависимости объём $V$ изменяется в соответствии со значением длины ребра $a$. Переменная, значение которой определяется значением другой переменной, называется функцией (или зависимой переменной). Переменная, от которой зависит функция, называется аргументом (или независимой переменной). В этом примере мы задаём длину ребра $a$ и вычисляем объём $V$. Следовательно, переменная $V$ является функцией, а переменная $a$ — аргументом. Эту зависимость можно записать в виде функции $V(a) = a^3$.

Ответ: Переменная $V$ является функцией, а переменная $a$ — аргументом.

Укажите область определения данной функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений её аргумента. В данном случае аргументом является длина ребра куба $a$. Так как длина ребра в геометрии является физической величиной, она не может быть отрицательной. Теоретически, длина ребра может быть равна нулю ($a=0$), в этом случае куб вырождается в точку, а его объём $V$ становится равен $0^3 = 0$. Однако, когда говорят о геометрической фигуре, обычно подразумевают невырожденный случай. Поэтому длина ребра куба должна быть строго положительным числом.

Таким образом, область определения для данной функции — это все положительные действительные числа. Это можно записать в виде неравенства:

$a > 0$

Или в виде интервала:

$a \in (0; +\infty)$

Ответ: Область определения функции: $a > 0$ (или $a \in (0; +\infty)$).

2 Прочитайте запись $f(x) = x + 3$. Что означает запись $f(-5)$? Найдите $f(-5)$.

Прочитайте запись $f(x) = x + 3$

Эта запись задает функцию. Она читается так: «эф от икс равно икс плюс три». В этой записи $f$ — это имя функции, $x$ — это аргумент (независимая переменная), а $f(x)$ — это значение функции, которое соответствует конкретному значению аргумента $x$. Выражение $x + 3$ является правилом, по которому вычисляется значение функции.

Ответ: «эф от икс равно икс плюс три».

Что означает запись $f(-5)$?

Запись $f(-5)$ означает, что нужно найти значение функции $f(x)$ при значении аргумента $x$, равном $-5$. Другими словами, это указание подставить число $-5$ вместо переменной $x$ в формулу, которой задана функция.

Ответ: запись $f(-5)$ означает значение функции $f(x) = x+3$ при $x = -5$.

Найдите $f(-5)$

Чтобы найти значение $f(-5)$, мы подставляем число $-5$ в правую часть формулы $f(x) = x + 3$ вместо $x$:

$f(-5) = -5 + 3$

Теперь выполним вычисление:

$-5 + 3 = -2$

Следовательно, значение функции при $x = -5$ равно $-2$.

Ответ: $f(-5) = -2$.