Номер 9.34, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.34 На графике (рис. 9.22) показаны данные о числе туристов, для которых фирма «Отпуск» организовала путешествие за период с 2008 по 2016 г. Перечертите этот график в тетрадь и проведите прямую, аппроксимирующую эти данные. Сколько путешествий можно было ожидать в 2019 г. при условии сохранения этой тенденции?

Туристы,
тыс. чел.

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

2008

2012

2016

2020

Год

Рис. 9.22

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: 1) на основе данных на графике построить аппроксимирующую прямую (линию тренда) и найти ее уравнение; 2) используя это уравнение, сделать прогноз на 2019 год.

Сначала определим координаты точек на графике, где по оси X отложен год, а по оси Y – количество туристов в тысячах человек. Отметим, что хотя в условии указан период с 2008 по 2016 год, на графике представлены данные до 2018 года включительно. Для большей точности аппроксимации и прогноза будем использовать все имеющиеся на графике точки.

Координаты точек на графике: (2008; 1,0), (2009; 1,7), (2010; 1,8), (2011; 2,0), (2012; 1,5), (2013; 2,0), (2014; 2,5), (2015; 2,5), (2016; 2,5), (2017; 2,8), (2018; 3,0).

Аппроксимирующую прямую (линию тренда) можно провести «на глаз» так, чтобы она проходила как можно ближе ко всем точкам, и чтобы примерно одинаковое количество точек находилось по обе стороны от прямой. Для удобства расчетов введем переменную $t$, обозначающую номер года, начиная с 2008. То есть, для 2008 года $t=0$, для 2009 года $t=1$, и так далее. Уравнение прямой имеет вид $y = mt + c$, где $y$ – число туристов (тыс. чел.), а $t$ – год ($t = \text{Год} - 2008$).

Попробуем провести прямую через две удаленные точки, например, первую (2008 г.) и последнюю (2018 г.). Их координаты в новой системе $(t, y)$ будут $(0; 1,0)$ и $(10; 3,0)$. Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой $m$: $m = \frac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1} = \frac{3,0 - 1,0}{10 - 0} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Так как прямая проходит через точку $(0; 1,0)$, ее свободный член $c$ (точка пересечения с осью Y) равен 1,0. Таким образом, уравнение аппроксимирующей прямой: $y = 0,2t + 1,0$.

Проверим, насколько хорошо эта прямая описывает остальные данные. Например, для 2013 года ($t=5$) расчетное значение $y = 0,2 \times 5 + 1,0 = 2,0$, что совпадает с точкой на графике (2013; 2,0). Для 2017 года ($t=9$) расчетное значение $y = 0,2 \times 9 + 1,0 = 2,8$, что также совпадает с точкой (2017; 2,8). Эта прямая проходит точно через четыре точки из одиннадцати, что является очень хорошим приближением.

Ответ: Аппроксимирующая прямая может быть описана уравнением $y = 0,2 \times (\text{Год} - 2008) + 1,0$, где $y$ - количество туристов в тыс. чел.

Для прогноза на 2019 год воспользуемся найденным уравнением прямой $y = 0,2t + 1,0$. Сначала найдем значение $t$ для 2019 года: $t = 2019 - 2008 = 11$.

Теперь подставим это значение в уравнение, чтобы найти прогнозируемое число туристов $y$: $y = 0,2 \times 11 + 1,0 = 2,2 + 1,0 = 3,2$.

Значение $y$ измеряется в тысячах человек. Следовательно, ожидаемое количество туристов составляет $3,2$ тысячи. $3,2 \times 1000 = 3200$ человек.

Ответ: В 2019 году можно было ожидать 3,2 тысячи путешествий (3200).