Номер 9.31, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

9.31 Муравей ползёт по шесту для флага, воткнутому вертикально в землю. Длина шеста 4 м. Муравей начал свой путь в 20 см от земли и ползёт вверх с постоянной скоростью 40 см/мин.

а) Задайте формулой расстояние $s$, на котором находится муравей от земли, как функцию времени его движения $t$.

б) Укажите область определения этой функции.

в) Постройте график функции, выбрав удобные единицы на осях.

г) Определите по графику, на какой высоте от земли муравей будет через 3 мин и через сколько минут он доползёт до вершины шеста.

а) Задайте формулой расстояние s, на котором находится муравей от земли, как функцию времени его движения t.

Для решения задачи приведем все единицы измерения к единой системе. Будем измерять расстояние в сантиметрах (см), а время в минутах (мин).
Длина шеста: $L = 4 \text{ м} = 400 \text{ см}$.
Начальная высота муравья в момент времени $t=0$: $s_0 = 20 \text{ см}$.
Скорость муравья: $v = 40 \text{ см/мин}$.
Расстояние $s$ от земли является функцией времени $t$. Оно равно сумме начальной высоты и пути, который муравей прополз за время $t$. Путь, пройденный с постоянной скоростью, вычисляется по формуле "скорость умножить на время" ($v \cdot t$).
Таким образом, функция расстояния от времени имеет вид:
$s(t) = s_0 + v \cdot t$
Подставив числовые значения, получаем искомую формулу:
$s(t) = 20 + 40t$.
Ответ: $s(t) = 20 + 40t$, где $s$ измеряется в сантиметрах, а $t$ — в минутах.

б) Укажите область определения этой функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений независимой переменной $t$ (времени).
Движение муравья начинается в момент $t=0$, следовательно, $t \ge 0$.
Движение заканчивается, когда муравей достигает вершины шеста, то есть когда его высота $s$ становится равной длине шеста, $400$ см. Найдем этот момент времени, решив уравнение $s(t) = 400$:
$400 = 20 + 40t$
$400 - 20 = 40t$
$380 = 40t$
$t = \frac{380}{40} = \frac{38}{4} = 9.5$ минут.
Таким образом, время движения $t$ ограничено интервалом от $0$ до $9.5$ минут включительно.
Область определения функции: $D(s) = [0; 9.5]$.
Ответ: $0 \le t \le 9.5$.

в) Постройте график функции, выбрав удобные единицы на осях.

Функция $s(t) = 20 + 40t$ — линейная, её график — прямая линия. Так как область определения — отрезок $[0; 9.5]$, то графиком функции будет отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов.
- Начальная точка (при $t=0$): $s(0) = 20 + 40 \cdot 0 = 20$. Координаты: $(0; 20)$.
- Конечная точка (при $t=9.5$): $s(9.5) = 20 + 40 \cdot 9.5 = 20 + 380 = 400$. Координаты: $(9.5; 400)$.
Строим график в системе координат, где по горизонтальной оси отложено время $t$ в минутах, а по вертикальной — расстояние $s$ в сантиметрах. Соединяем точки $(0; 20)$ и $(9.5; 400)$ отрезком.


Ответ: График функции — это отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 20)$ и $(9.5; 400)$.

г) Определите по графику, на какой высоте от земли муравей будет через 3 мин и через сколько минут он доползёт до вершины шеста.

С помощью построенного графика найдем искомые значения.
1. Чтобы определить высоту через 3 минуты, находим на оси времени $t$ значение 3. Проводим от этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком (синий отрезок). От точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси расстояния $s$. Как показано на графике зеленой пунктирной линией, эта линия указывает на значение $140$ см.
Проверим вычислением: $s(3) = 20 + 40 \cdot 3 = 20 + 120 = 140$ см.

2. Чтобы определить время достижения вершины шеста (высота 400 см), находим на оси расстояния $s$ значение 400. Проводим от этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком. Эта точка является концом отрезка. От нее опускаем вертикальную линию на ось времени $t$. Как показано фиолетовой пунктирной линией, эта линия указывает на значение $9.5$ минут.
Это значение совпадает с расчетом, выполненным в пункте (б).
Ответ: Через 3 минуты муравей будет на высоте 140 см от земли. Он доползёт до вершины шеста через 9.5 минут.