Номер 5, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 39. Что означает в математике запись y=f(x). Глава 8. Функция y=x^2 - номер 5, страница 143.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{если } -3 \le x \le 2 \\ -2x+7, & \text{если } 2 < x \le 3 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждую часть функции отдельно.

Первая часть: $y = x+1$ на отрезке $[-3; 2]$.
Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения найдем координаты его концов и одной промежуточной точки. При $x = -3$: $y = -3 + 1 = -2$. Координаты точки $(-3, -2)$. При $x = 2$: $y = 2 + 1 = 3$. Координаты точки $(2, 3)$. Заполним таблицу значений для этого отрезка:

x	-3	0	2
y	-2	1	3

Вторая часть: $y = -2x+7$ на полуинтервале $(2; 3]$.
Это также линейная функция, её график — отрезок прямой. Найдем координаты его концов. При $x \to 2$ (справа): $y = -2(2) + 7 = 3$. Точка $(2, 3)$. Так как $x > 2$, эта точка выколота, но она совпадает с концом первого отрезка, который является закрашенной точкой. Следовательно, в точке $x=2$ разрыва нет. При $x = 3$: $y = -2(3) + 7 = 1$. Координаты точки $(3, 1)$. Заполним таблицу значений для этого отрезка:

x	2	3
y	3	1

Теперь найдем значения функции в заданных точках.

а) f(-1): Так как $-3 \le -1 \le 2$, используем формулу $f(x)=x+1$.
$f(-1) = -1+1=0$.
Ответ: 0.

б) f(-3): Так как $-3 \le -3 \le 2$, используем формулу $f(x)=x+1$.
$f(-3) = -3+1=-2$.
Ответ: -2.

в) f(0): Так как $-3 \le 0 \le 2$, используем формулу $f(x)=x+1$.
$f(0) = 0+1=1$.
Ответ: 1.

г) f(3): Так как $2 < 3 \le 3$, используем формулу $f(x)=-2x+7$.
$f(3) = -2(3)+7 = -6+7=1$.
Ответ: 1.

д) f(2,5): Так как $2 < 2,5 \le 3$, используем формулу $f(x)=-2x+7$.
$f(2,5) = -2(2,5)+7 = -5+7=2$.
Ответ: 2.

---

2)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ x, & \text{если } 1 < x \le 4 \\ 4, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

Первая часть: $y = x^2$ на отрезке $[-2; 1]$.
График — часть параболы с вершиной в точке $(0,0)$. Найдем значения на концах отрезка. При $x = -2$: $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$. При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$. Таблица значений:

x	-2	-1	0	1
y	4	1	0	1

Вторая часть: $y = x$ на полуинтервале $(1; 4]$.
График — отрезок прямой. При $x \to 1$ (справа): $y = 1$. Точка $(1, 1)$. Эта точка выколота, но совпадает с закрашенной точкой из первой части. При $x = 4$: $y = 4$. Точка $(4, 4)$. Таблица значений:

x	1	4
y	1	4

Третья часть: $y = 4$ при $x > 4$.
График — горизонтальный луч, выходящий из точки $(4, 4)$. Точка $(4,4)$ выколота для этой части, но закрашена во второй. Функция непрерывна.

Теперь найдем значения функции в заданных точках.

а) f(-2): Так как $-2 \le -2 \le 1$, используем формулу $f(x)=x^2$.
$f(-2) = (-2)^2=4$.
Ответ: 4.

б) f(-1): Так как $-2 \le -1 \le 1$, используем формулу $f(x)=x^2$.
$f(-1) = (-1)^2=1$.
Ответ: 1.

в) f(0): Так как $-2 \le 0 \le 1$, используем формулу $f(x)=x^2$.
$f(0) = 0^2=0$.
Ответ: 0.

г) f(1): Так как $-2 \le 1 \le 1$, используем формулу $f(x)=x^2$.
$f(1) = 1^2=1$.
Ответ: 1.

д) f(3): Так как $1 < 3 \le 4$, используем формулу $f(x)=x$.
$f(3) = 3$.
Ответ: 3.

е) f(7): Так как $7 > 4$, используем формулу $f(x)=4$.
$f(7) = 4$.
Ответ: 4.

---

3)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x \le 2 \\ x-6, & \text{если } 2 < x \le 8 \end{cases}$

Первая часть: $y = -x^2$ на луче $(-\infty; 2]$.
График — часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0,0)$. При $x = 2$: $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$. Таблица значений:

x	-2	-1	0	1	2
y	-4	-1	0	-1	-4

Вторая часть: $y = x-6$ на полуинтервале $(2; 8]$.
График — отрезок прямой. При $x \to 2$ (справа): $y = 2-6=-4$. Точка $(2, -4)$. Точка выколота, но совпадает с концом первой части. Функция непрерывна. При $x = 8$: $y = 8-6=2$. Точка $(8, 2)$. Таблица значений:

x	2	5	8
y	-4	-1	2

Теперь найдем значения функции в заданных точках.

а) f(-5): Так как $-5 \le 2$, используем формулу $f(x)=-x^2$.
$f(-5) = -(-5)^2 = -25$.
Ответ: -25.

б) f(-1): Так как $-1 \le 2$, используем формулу $f(x)=-x^2$.
$f(-1) = -(-1)^2 = -1$.
Ответ: -1.

в) f(0): Так как $0 \le 2$, используем формулу $f(x)=-x^2$.
$f(0) = -0^2=0$.
Ответ: 0.

г) f(2): Так как $2 \le 2$, используем формулу $f(x)=-x^2$.
$f(2) = -2^2=-4$.
Ответ: -4.

д) f(4): Так как $2 < 4 \le 8$, используем формулу $f(x)=x-6$.
$f(4) = 4-6=-2$.
Ответ: -2.

е) f(6): Так как $2 < 6 \le 8$, используем формулу $f(x)=x-6$.
$f(6) = 6-6=0$.
Ответ: 0.