Номер 14, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 40. Решение задач с помощью систем уравнений - номер 14, страница 111.

Условие.

14. Если первое из двух заданных чисел уменьшить на 20%, а второе увеличить на 50%, то их сумма уменьшится на 6. Если же первое число увеличить на 5%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 2. Найдите оба числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть первое искомое число — это $x$, а второе — $y$. Их первоначальная сумма равна $x + y$.

Рассмотрим первое условие. Первое число уменьшают на 20%, то есть оно становится равным $x - 0.2x = 0.8x$. Второе число увеличивают на 50%, то есть оно становится равным $y + 0.5y = 1.5y$. Новая сумма этих чисел $0.8x + 1.5y$. По условию, она на 6 меньше первоначальной суммы. Составим первое уравнение:

$0.8x + 1.5y = (x + y) - 6$

Перенесем переменные в левую часть уравнения:

$0.8x - x + 1.5y - y = -6$

$-0.2x + 0.5y = -6$

Для удобства умножим обе части уравнения на -10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2x - 5y = 60$

Теперь рассмотрим второе условие. Первое число увеличивают на 5%, оно становится равным $x + 0.05x = 1.05x$. Второе число уменьшают на 10%, оно становится равным $y - 0.1y = 0.9y$. Новая сумма $1.05x + 0.9y$ на 2 больше первоначальной. Составим второе уравнение:

$1.05x + 0.9y = (x + y) + 2$

Перенесем переменные в левую часть:

$1.05x - x + 0.9y - y = 2$

$0.05x - 0.1y = 2$

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$x - 2y = 40$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x - 5y = 60 \\ x - 2y = 40 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 40 + 2y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2(40 + 2y) - 5y = 60$

$80 + 4y - 5y = 60$

$80 - y = 60$

$y = 80 - 60$

$y = 20$

Мы нашли второе число. Теперь найдем первое, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 40 + 2(20)$

$x = 40 + 40$

$x = 80$

Таким образом, первое число равно 80, а второе — 20.

Выполним проверку:

1. Исходная сумма: $80 + 20 = 100$.

2. Первое условие: $80 \cdot 0.8 + 20 \cdot 1.5 = 64 + 30 = 94$. Сумма уменьшилась на $100 - 94 = 6$. Верно.

3. Второе условие: $80 \cdot 1.05 + 20 \cdot 0.9 = 84 + 18 = 102$. Сумма увеличилась на $102 - 100 = 2$. Верно.

Ответ: Первое число 80, второе число 20.