Номер 8, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 40. Решение задач с помощью систем уравнений - номер 8, страница 107.

Условие.

8. Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 3 ч они встретились. Если бы первый автомобиль выехал на 3 ч 45 мин раньше второго, встреча произошла бы через 1 ч 15 мин после выезда второго автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля. Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. За 3 ч первый автомобиль проехал $3x$ км, а второй — $3y$ км. Они преодолели расстояние 450 км, следовательно,

$3x + 3y = 450$ (1)

Если бы первый автомобиль выехал на 3 ч 45 мин раньше второго, он ехал бы до встречи $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4} = 5$ ч и преодолел бы за это время расстояние $5x$ км, тогда как второй автомобиль проехал бы $1\frac{1}{4}y$ км. Вместе они проехали 450 км, значит,

$5x + 1\frac{1}{4}y = 450$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

Решение.

Решение 2.

Решение. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. За 3 ч первый автомобиль проехал $3x$ км, а второй — $3y$ км. Они преодолели расстояние 450 км, следовательно, $3x + 3y = 450$ (1).

Если бы первый автомобиль выехал на 3 ч 45 мин ($3\frac{3}{4}$ ч) раньше второго, а встреча произошла через 1 ч 15 мин ($1\frac{1}{4}$ ч) после выезда второго, то первый автомобиль ехал бы до встречи $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4} = 5$ ч и преодолел бы за это время расстояние $5x$ км, тогда как второй автомобиль, ехавший $1\frac{1}{4}$ ч, проехал бы $1.25y$ км. Вместе они проехали 450 км, значит, $5x + 1.25y = 450$ (2).

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

$$\begin{cases}3x + 3y = 450 \\5x + 1.25y = 450\end{cases}$$

Для решения системы упростим первое уравнение, разделив обе его части на 3:

$x + y = 150$

Выразим из этого уравнения $y$:

$y = 150 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$5x + 1.25(150 - x) = 450$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$5x + 1.25 \cdot 150 - 1.25x = 450$

$5x + 187.5 - 1.25x = 450$

$3.75x = 450 - 187.5$

$3.75x = 262.5$

$x = \frac{262.5}{3.75}$

$x = 70$

Скорость первого автомобиля равна 70 км/ч. Теперь найдем скорость второго автомобиля:

$y = 150 - x = 150 - 70 = 80$

Скорость второго автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 70 км/ч, скорость второго автомобиля — 80 км/ч.