Номер 10, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 40. Решение задач с помощью систем уравнений - номер 10, страница 109.

Условие.

10. Два токаря должны были вместе выточить $220$ деталей. К середине дня первый токарь выполнил $70\%$ своего задания, а второй — $\frac{1}{2}$ своего, причём первый токарь выточил на $10$ деталей больше, чем второй. Сколько деталей должен был выточить каждый токарь?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое должен был выточить первый токарь по плану.

Пусть $y$ — это количество деталей, которое должен был выточить второй токарь по плану.

Из условия задачи известно, что вместе они должны были выточить 220 деталей. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y = 220$

Далее, к середине дня первый токарь выполнил 70% своего задания. Количество выточенных им деталей составляет $0.7x$.

Второй токарь к этому же времени выполнил половину своего задания, то есть 50%. Количество выточенных им деталей составляет $0.5y$.

Также в условии сказано, что первый токарь выточил на 10 деталей больше, чем второй. Это дает нам второе уравнение:

$0.7x = 0.5y + 10$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 220 \\ 0.7x = 0.5y + 10 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 220 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$0.7x = 0.5(220 - x) + 10$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки:

$0.7x = 110 - 0.5x + 10$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0.7x = 120 - 0.5x$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив знак:

$0.7x + 0.5x = 120$

$1.2x = 120$

Найдем $x$:

$x = \frac{120}{1.2} = \frac{1200}{12} = 100$

Таким образом, первый токарь должен был выточить 100 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей должен был выточить второй токарь, подставив значение $x$ в выражение $y = 220 - x$:

$y = 220 - 100 = 120$

Второй токарь должен был выточить 120 деталей.

Выполним проверку. К середине дня первый токарь выточил $0.7 \times 100 = 70$ деталей. Второй выточил $0.5 \times 120 = 60$ деталей. Разница составляет $70 - 60 = 10$ деталей, что соответствует условию задачи. Суммарное плановое количество деталей $100 + 120 = 220$ деталей, что также соответствует условию.

Ответ: Первый токарь должен был выточить 100 деталей, а второй токарь — 120 деталей.