Номер 9, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 40. Решение задач с помощью систем уравнений - номер 9, страница 108.

Условие.

9. За 2 ч по течению реки и 1 ч 30 мин против течения моторная лодка может пройти 55 км, а за 30 мин по течению реки и 2 ч против течения она может пройти 30 км. Определите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение.

Решение 2.

Пусть $v_л$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(v_л + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_л - v_т)$ км/ч. Для удобства введем переменные: пусть $x$ будет скоростью по течению, а $y$ — скоростью против течения.

Переведем время в часы: 1 час 30 минут это $1.5$ часа, а 30 минут — это $0.5$ часа.

На основе условий задачи составим систему уравнений, используя формулу «расстояние = скорость × время».

1. За 2 часа по течению и 1.5 часа против течения лодка прошла 55 км. Это дает нам уравнение:$2x + 1.5y = 55$

2. За 0.5 часа по течению и 2 часа против течения лодка прошла 30 км. Это дает нам второе уравнение:$0.5x + 2y = 30$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:$\begin{cases}2x + 1.5y = 55 \\0.5x + 2y = 30\end{cases}$

Для решения системы умножим второе уравнение на 4, чтобы исключить переменную $x$:$4 \cdot (0.5x + 2y) = 4 \cdot 30$$2x + 8y = 120$

Теперь вычтем первое уравнение ($2x + 1.5y = 55$) из полученного нового уравнения ($2x + 8y = 120$):$(2x + 8y) - (2x + 1.5y) = 120 - 55$$6.5y = 65$$y = \frac{65}{6.5} = 10$

Итак, скорость лодки против течения равна 10 км/ч. Подставим значение $y=10$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:$0.5x + 2(10) = 30$$0.5x + 20 = 30$$0.5x = 10$$x = \frac{10}{0.5} = 20$

Скорость лодки по течению равна 20 км/ч.

Теперь, зная скорости по течению ($x = v_л + v_т$) и против течения ($y = v_л - v_т$), мы можем найти собственную скорость лодки $v_л$ и скорость течения $v_т$, решив систему:$\begin{cases}v_л + v_т = 20 \\v_л - v_т = 10\end{cases}$Сложив эти два уравнения, получаем:$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 20 + 10$$2v_л = 30$$v_л = 15$Собственная скорость лодки составляет 15 км/ч. Подставив это значение в первое уравнение, найдем скорость течения:$15 + v_т = 20$$v_т = 5$Скорость течения реки составляет 5 км/ч.

Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 15 км/ч, скорость течения реки — 5 км/ч.