Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

3. Найдите значение выражения:

а) $10{,}4 - 3 \cdot \left(5\frac{1}{4} - 2{,}15\right) = $

1) $5\frac{1}{4} - 2{,}15 = 5{,}25 - 2{,}15 = 3{,}1;$

2) ..............

3) ..............

б) $8{,}4 \cdot 0{,}5 + 3{,}8 : (-1{,}9) = $

в) $8{,}6 : \left(45 - 6{,}2 : 0{,}31\right) = $

г) $1\frac{1}{11} \cdot \left(2{,}08 + 1\right) - 3 = $

а) $10,4-3\cdot\left(5\frac{1}{4}-2,15\right)$
Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения: сначала действия в скобках, затем умножение и вычитание.
1) Выполним вычитание в скобках. Для этого представим смешанную дробь $5\frac{1}{4}$ в виде десятичной: $5\frac{1}{4}=5,25$.
$5,25 - 2,15 = 3,1$
2) Теперь выполним умножение:
$3 \cdot 3,1 = 9,3$
3) И, наконец, вычитание:
$10,4 - 9,3 = 1,1$
Ответ: $1,1$

б) $8,4 \cdot 0,5 + 3,8 : (-1,9)$
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение и деление, а затем сложение.
1) $8,4 \cdot 0,5 = 4,2$
2) $3,8 : (-1,9) = -2$
3) $4,2 + (-2) = 4,2 - 2 = 2,2$
Ответ: $2,2$

в) $8,6 : (45 - 6,2 : 0,31)$
Сначала выполняются действия в скобках (сначала деление, потом вычитание), а затем деление вне скобок.
1) $6,2 : 0,31 = 620 : 31 = 20$
2) $45 - 20 = 25$
3) $8,6 : 25 = 0,344$
Ответ: $0,344$

г) $1\frac{1}{11} \cdot (2,08 + 1) - 3$
Первым действием выполняем сложение в скобках, затем умножение и в конце вычитание.
1) $2,08 + 1 = 3,08$
2) Для выполнения умножения преобразуем оба множителя в обыкновенные дроби:
$1\frac{1}{11} = \frac{12}{11}$
$3,08 = 3\frac{8}{100} = 3\frac{2}{25} = \frac{77}{25}$
Теперь умножаем дроби:
$\frac{12}{11} \cdot \frac{77}{25} = \frac{12 \cdot 77}{11 \cdot 25} = \frac{12 \cdot 7}{25} = \frac{84}{25} = 3,36$
3) Выполняем вычитание:
$3,36 - 3 = 0,36$
Ответ: $0,36$

4. Запишите в виде выражения и найдите его значение:

а) произведение числа 5 и суммы чисел 12,8 и 3,4;

$5 \cdot (12.8 + 3.4)$

б) разность между числом 46,3 и суммой чисел 12,6 и 3,4;

$46.3 - (12.6 + 3.4)$

в) произведение суммы чисел 12,8 и 8,2 и их разности;

$(12.8 + 8.2) \cdot (12.8 - 8.2)$

г) сумма произведения чисел 8,4 и 6 и их частного.

$8.4 \cdot 6 + \frac{8.4}{6}$

Чтобы найти произведение числа 5 и суммы чисел 12,8 и 3,4, сначала нужно вычислить сумму, а затем умножить результат на 5. Запишем это в виде выражения: $5 \cdot (12,8 + 3,4)$.

1. Найдем сумму в скобках: $12,8 + 3,4 = 16,2$.

2. Умножим результат на 5: $5 \cdot 16,2 = 81$.

Ответ: 81

Чтобы найти разность между числом 46,3 и суммой чисел 12,6 и 3,4, сначала вычислим сумму, а затем вычтем ее из 46,3. Выражение будет выглядеть так: $46,3 - (12,6 + 3,4)$.

1. Найдем сумму в скобках: $12,6 + 3,4 = 16$.

2. Найдем разность: $46,3 - 16 = 30,3$.

Ответ: 30,3

Необходимо найти произведение двух величин: суммы чисел 12,8 и 8,2 и их разности. Выражение: $(12,8 + 8,2) \cdot (12,8 - 8,2)$.

1. Найдем сумму чисел: $12,8 + 8,2 = 21$.

2. Найдем их разность: $12,8 - 8,2 = 4,6$.

3. Найдем произведение полученных результатов: $21 \cdot 4,6 = 96,6$.

Ответ: 96,6

Нужно сложить две величины: произведение чисел 8,4 и 6 и частное этих же чисел. Выражение: $(8,4 \cdot 6) + (8,4 : 6)$.

1. Найдем произведение чисел: $8,4 \cdot 6 = 50,4$.

2. Найдем их частное: $8,4 : 6 = 1,4$.

3. Сложим полученные результаты: $50,4 + 1,4 = 51,8$.

Ответ: 51,8

4. Расположите члены многочлена по убывающим степеням переменной:

a) $5x^3 - 2x^4 - 4x^2 + 6 - x = ............

б) $-2a^2 + 14 + 5a^6 - 3a^3 = ............

а) Чтобы расположить члены многочлена $5x^3 - 2x^4 - 4x^2 + 6 - x$ по убывающим степеням переменной, необходимо определить степень каждого члена и записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей. Степени членов следующие: у члена $-2x^4$ степень равна $4$, у члена $5x^3$ степень равна $3$, у члена $-4x^2$ степень равна $2$, у члена $-x$ (то есть $-x^1$) степень равна $1$, и у свободного члена $6$ (то есть $6x^0$) степень равна $0$.

Располагая члены в порядке убывания их степеней ($4, 3, 2, 1, 0$), получаем следующий многочлен:

$-2x^4 + 5x^3 - 4x^2 - x + 6$

Ответ: $-2x^4 + 5x^3 - 4x^2 - x + 6$.

б) Аналогично для многочлена $-2a^2 + 14 + 5a^6 - 3a^3$ найдем степени его членов по переменной $a$. У члена $5a^6$ степень равна $6$, у члена $-3a^3$ степень равна $3$, у члена $-2a^2$ степень равна $2$, и у свободного члена $14$ (то есть $14a^0$) степень равна $0$.

Расположим члены по убывающим степеням ($6, 3, 2, 0$):

$5a^6 - 3a^3 - 2a^2 + 14$

Ответ: $5a^6 - 3a^3 - 2a^2 + 14$.

5. Расположите члены многочлена по возрастающим степеням переменной:

а) $2b^3 + 1 - 4b^2 - 3b^5 + b = .......................

б) $5y^2 - 16y - 4 + 3y^5 - 2y^4 = .......................

а) $2b^3 + 1 - 4b^2 - 3b^5 + b$

Чтобы расположить члены многочлена по возрастающим степеням переменной, необходимо определить степень (показатель) переменной в каждом члене и затем записать эти члены в порядке от наименьшей степени к наибольшей.

Рассмотрим члены данного многочлена и их степени относительно переменной $b$:

• Член $1$ является свободным членом, его степень равна 0 (так как $1 = 1 \cdot b^0$).
• Член $b$ имеет степень 1 (так как $b = b^1$).
• Член $-4b^2$ имеет степень 2.
• Член $2b^3$ имеет степень 3.
• Член $-3b^5$ имеет степень 5.

Теперь расположим эти члены в порядке возрастания их степеней (0, 1, 2, 3, 5), сохраняя знаки коэффициентов:

$1 + b - 4b^2 + 2b^3 - 3b^5$

Ответ: $1 + b - 4b^2 + 2b^3 - 3b^5$

б) $5y^2 - 16y - 4 + 3y^5 - 2y^4$

Аналогично предыдущему пункту, определим степени каждого члена многочлена относительно переменной $y$.

• Член $-4$ — свободный член, его степень равна 0 (так как $-4 = -4 \cdot y^0$).
• Член $-16y$ имеет степень 1 (так как $-16y = -16y^1$).
• Член $5y^2$ имеет степень 2.
• Член $-2y^4$ имеет степень 4.
• Член $3y^5$ имеет степень 5.

Запишем члены многочлена в порядке возрастания их степеней (0, 1, 2, 4, 5), не забывая про их знаки:

$-4 - 16y + 5y^2 - 2y^4 + 3y^5$

Ответ: $-4 - 16y + 5y^2 - 2y^4 + 3y^5$

6. Найдите значение многочлена:

a) $2x^3+x^8-3x^3-4x^2-x^8+x$ при $x=-2;$

б) $4a^2b-a^3b^2+6a^2b-b+a^3b^2$ при $a=-1, b=2.$

а) $2x^3 + x^8 - 3x^3 - 4x^2 - x^8 + x$ при $x = -2$

Сначала упростим многочлен, приведя подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(2x^3 - 3x^3) + (x^8 - x^8) - 4x^2 + x$

Выполним действия в скобках:

$-x^3 - 4x^2 + x$

Теперь подставим значение $x = -2$ в упрощенное выражение:

$-(-2)^3 - 4(-2)^2 + (-2)$

Вычислим степени:

$(-2)^3 = -8$

$(-2)^2 = 4$

Подставим эти значения обратно в выражение:

$-(-8) - 4(4) - 2 = 8 - 16 - 2 = -10$

Ответ: -10

б) $4a^2b - a^3b^2 + 6a^2b - b + a^3b^2$ при $a = -1$, $b = 2$

Сначала упростим многочлен, приведя подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными и степенями:

$(4a^2b + 6a^2b) + (-a^3b^2 + a^3b^2) - b$

Выполним действия в скобках:

$10a^2b - b$

Теперь подставим значения $a = -1$ и $b = 2$ в упрощенное выражение:

$10(-1)^2(2) - 2$

Вычислим степень и выполним умножение:

$10(1)(2) - 2 = 20 - 2 = 18$

Ответ: 18

7. Продолжите запись:

а) степень многочлена $2a^3 - a^4 + 6$ равна

б) степень многочлена $5x^3y^2 - 6xy + 2$ равна

в) степень многочлена $16 - 2c$ равна

г) степень многочлена $cd + ad - ac + 5$ равна

а) степень многочлена $2a^3-a^4+6$ равна 4

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Данный многочлен состоит из трех одночленов: $2a^3$, $-a^4$ и $6$.

Степень одночлена $2a^3$ равна $3$.

Степень одночлена $-a^4$ равна $4$.

Степень одночлена $6$ (свободного члена) равна $0$.

Наибольшая из степеней этих одночленов равна $4$. Следовательно, степень всего многочлена равна $4$.
Ответ: 4

б) степень многочлена $5x^3y^2-6xy+2$ равна 5

Данный многочлен состоит из трех одночленов: $5x^3y^2$, $-6xy$ и $2$.

Степень одночлена $5x^3y^2$ равна сумме показателей степеней переменных, то есть $3+2=5$.

Степень одночлена $-6xy$ (или $-6x^1y^1$) равна $1+1=2$.

Степень одночлена $2$ равна $0$.

Наибольшая из степеней ($5$, $2$ и $0$) равна $5$.
Ответ: 5

в) степень многочлена $16-2c$ равна 1

Данный многочлен состоит из двух одночленов: $16$ и $-2c$.

Степень одночлена $16$ равна $0$.

Степень одночлена $-2c$ (или $-2c^1$) равна $1$.

Наибольшая из степеней ($0$ и $1$) равна $1$.
Ответ: 1

г) степень многочлена $cd+ad-ac+5$ равна 2

Данный многочлен состоит из четырех одночленов: $cd$, $ad$, $-ac$ и $5$.

Степень одночлена $cd$ (или $c^1d^1$) равна $1+1=2$.

Степень одночлена $ad$ (или $a^1d^1$) равна $1+1=2$.

Степень одночлена $-ac$ (или $-a^1c^1$) равна $1+1=2$.

Степень одночлена $5$ равна $0$.

Наибольшая из степеней ($2$, $2$, $2$ и $0$) равна $2$.
Ответ: 2

8. Даны четыре многочлена:

1. $2x^2y - 3xy + 5xy^2;$

2. $4ab + 8a^3b - 2a^2b^2;$

3. $-cd^4 + 2c^2d^3 + d^8;$

4. $3mn - 16m^2 + 5.$

a) Какой из этих многочленов является многочленом четвёртой степени?

б) Какой из этих многочленов имеет наибольшую степень?

в) Какой из этих многочленов имеет наименьшую степень?

Для ответа на вопросы задачи сначала определим степень каждого из предложенных многочленов. Степенью многочлена является наибольшая из степеней его одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.

1. Многочлен $2x^2y - 3xy + 5xy^2$
Степени его одночленов:

• $2x^2y$: степень $2+1=3$
• $-3xy$: степень $1+1=2$
• $5xy^2$: степень $1+2=3$

Наибольшая степень — 3. Это многочлен третьей степени.

2. Многочлен $4ab + 8a^3b - 2a^2b^2$
Степени его одночленов:

• $4ab$: степень $1+1=2$
• $8a^3b$: степень $3+1=4$
• $-2a^2b^2$: степень $2+2=4$

Наибольшая степень — 4. Это многочлен четвёртой степени.

3. Многочлен $-cd^4 + 2c^2d^3 + d^8$
Степени его одночленов:

• $-cd^4$: степень $1+4=5$
• $2c^2d^3$: степень $2+3=5$
• $d^8$: степень $8$

Наибольшая степень — 8. Это многочлен восьмой степени.

4. Многочлен $3mn - 16m^2 + 5$
Степени его одночленов:

• $3mn$: степень $1+1=2$
• $-16m^2$: степень $2$
• $5$: степень $0$ (свободный член)

Наибольшая степень — 2. Это многочлен второй степени.

Теперь ответим на вопросы, основываясь на найденных степенях: 3, 4, 8, 2.

а) Какой из этих многочленов является многочленом четвёртой степени?
Согласно нашим расчетам, многочлен под номером 2 имеет степень 4.
Ответ: многочлен 2: $4ab + 8a^3b - 2a^2b^2$.

б) Какой из этих многочленов имеет наибольшую степень?
Сравнивая степени [3, 4, 8, 2], мы видим, что наибольшая степень равна 8. Эта степень принадлежит многочлену под номером 3.
Ответ: многочлен 3: $-cd^4 + 2c^2d^3 + d^8$.

в) Какой из этих многочленов имеет наименьшую степень?
Сравнивая степени [3, 4, 8, 2], мы видим, что наименьшая степень равна 2. Эта степень принадлежит многочлену под номером 4.
Ответ: многочлен 4: $3mn - 16m^2 + 5$.