Страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

16. Из 25 членов математического кружка каждый принял участие в школьной или городской олимпиаде. При этом 23 члена кружка участвовали в школьной олимпиаде, а 16 — в городской. Найдите, сколько процентов всех членов кружка участвовало в двух олимпиадах.

Для решения этой задачи нужно определить количество членов кружка, которые участвовали в обеих олимпиадах, а затем выразить это количество в процентах от общего числа членов кружка.

Пусть $N$ — общее число членов математического кружка, $N_ш$ — число членов, участвовавших в школьной олимпиаде, $N_г$ — число членов, участвовавших в городской олимпиаде. По условию, каждый из 25 членов участвовал хотя бы в одной олимпиаде.

Дано:
Общее число членов кружка $N = 25$.
Участвовали в школьной олимпиаде $N_ш = 23$.
Участвовали в городской олимпиаде $N_г = 16$.

Чтобы найти количество членов, участвовавших и в школьной, и в городской олимпиаде, воспользуемся формулой включений-исключений. Общее число уникальных участников равно сумме участников каждой олимпиады минус число тех, кто участвовал в обеих (так как они посчитаны дважды).

$N = N_ш + N_г - N_{ш \cap г}$
где $N_{ш \cap г}$ — количество членов, участвовавших в обеих олимпиадах.

Выразим из этой формулы $N_{ш \cap г}$:

$N_{ш \cap г} = N_ш + N_г - N$

Подставим известные значения:

$N_{ш \cap г} = 23 + 16 - 25 = 39 - 25 = 14$

Таким образом, 14 членов кружка участвовали в двух олимпиадах.

Теперь найдем, какой процент от общего числа членов кружка (25 человек) составляют эти 14 человек. Для этого составим пропорцию:

$\frac{14}{25} \times 100\%$

$\frac{14}{25} \times 100\% = 0.56 \times 100\% = 56\%$

Ответ: 56%

1. Найдите значение выражения $5c - 6$ при указанных значениях $c$:

если $c = 11$, то $5c - 6$ = ..............

если $c = -6$, то $5c - 6$ = ..............

если $c = 0$, то $5c - 6$ = ..............

если c = 11, то 5c – 6 =

Чтобы найти значение выражения $5c - 6$ при $c = 11$, необходимо подставить значение $c = 11$ в данное выражение и выполнить арифметические действия в правильном порядке (сначала умножение, затем вычитание).

1. Подставляем 11 вместо c: $5c - 6 = 5 \cdot 11 - 6$

2. Выполняем умножение: $5 \cdot 11 = 55$

3. Выполняем вычитание: $55 - 6 = 49$

Следовательно, при $c=11$ значение выражения равно 49.

Ответ: 49

если c = -6, то 5c – 6 =

Аналогично предыдущему пункту, подставляем значение $c = -6$ в выражение $5c - 6$.

1. Подставляем -6 вместо c: $5c - 6 = 5 \cdot (-6) - 6$

2. Выполняем умножение. Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательное число: $5 \cdot (-6) = -30$

3. Выполняем вычитание: $-30 - 6 = -36$

Следовательно, при $c=-6$ значение выражения равно -36.

Ответ: -36

если c = 0, то 5c – 6 =

Подставляем значение $c = 0$ в выражение $5c - 6$.

1. Подставляем 0 вместо c: $5c - 6 = 5 \cdot 0 - 6$

2. Выполняем умножение. Произведение любого числа на ноль равно нулю: $5 \cdot 0 = 0$

3. Выполняем вычитание: $0 - 6 = -6$

Следовательно, при $c=0$ значение выражения равно -6.

Ответ: -6

2. Заполните таблицу:

$x$, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6

$4x-2$, , -18, , , , ,

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно подставить каждое значение $x$ из верхней строки в выражение $4x-2$ и записать полученный результат в соответствующую ячейку в нижней строке.

Подставляем $x = -6$ в выражение $4x-2$:

$4 \cdot (-6) - 2 = -24 - 2 = -26$

Ответ: -26

Подставляем $x = -2$ в выражение $4x-2$:

$4 \cdot (-2) - 2 = -8 - 2 = -10$

Ответ: -10

Подставляем $x = 0$ в выражение $4x-2$:

$4 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$

Ответ: -2

Подставляем $x = 2$ в выражение $4x-2$:

$4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6$

Ответ: 6

Подставляем $x = 4$ в выражение $4x-2$:

$4 \cdot 4 - 2 = 16 - 2 = 14$

Ответ: 14

Подставляем $x = 6$ в выражение $4x-2$:

$4 \cdot 6 - 2 = 24 - 2 = 22$

Ответ: 22

Итоговая заполненная таблица:

3. Закончите запись:

если $a=3$, $b=1$, то $5a+4b = \dots$

если $a=0$, $b=-1,5$, то $12a-10b = \dots$

если a=3, b=1, то 5a + 4b =

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить заданные значения переменных $a=3$ и $b=1$ в выражение $5a+4b$.

Выполним подстановку и вычислим:

$5a + 4b = 5 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 15 + 4 = 19$

Ответ: 19

если a=0, b=-1,5, то 12a - 10b =

Подставим значения $a=0$ и $b=-1,5$ в выражение $12a - 10b$.

Выполним вычисления, помня, что умножение на ноль дает ноль, а вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного:

$12a - 10b = 12 \cdot 0 - 10 \cdot (-1,5) = 0 - (-15) = 0 + 15 = 15$

Ответ: 15

4. Заполните таблицу:

$x$: $-3$, $-1$, $0$, $2$, $-3$, $-4$

$y$: $-2$, $0$, $4$, $6$, $8$, $10$

$x+3y$: , $-1$, , , ,

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого столбца вычислить значение выражения $x + 3y$, подставив в него заданные значения x и y из первых двух строк.

Для x = -3 и y = -2:

Подставляем значения в выражение: $x + 3y = -3 + 3 \cdot (-2) = -3 - 6 = -9$.

Ответ: -9

Для x = -1 и y = 0:

Подставляем значения в выражение: $x + 3y = -1 + 3 \cdot 0 = -1 + 0 = -1$. (Это значение уже приведено в таблице).

Ответ: -1

Для x = 0 и y = 4:

Подставляем значения в выражение: $x + 3y = 0 + 3 \cdot 4 = 0 + 12 = 12$.

Ответ: 12

Для x = 2 и y = 6:

Подставляем значения в выражение: $x + 3y = 2 + 3 \cdot 6 = 2 + 18 = 20$.

Ответ: 20

Для x = 3 и y = 8:

Подставляем значения в выражение: $x + 3y = 3 + 3 \cdot 8 = 3 + 24 = 27$.

Ответ: 27

Для x = 4 и y = 10:

Подставляем значения в выражение: $x + 3y = 4 + 3 \cdot 10 = 4 + 30 = 34$.

Ответ: 34

Заполненная таблица:

5. Вычислите значение выражения

$(2.3x^2y+1.1xy+6y^2)-(4.1xy-1.2x^2y+6y^2):$

а) при $x=2, y=3$;

б) при $x=-1, y=4$.

Для начала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. При раскрытии вторых скобок знаки слагаемых изменятся на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$(2,3x^2y + 1,1xy + 6y^2) - (4,1xy - 1,2x^2y + 6y^2) = 2,3x^2y + 1,1xy + 6y^2 - 4,1xy + 1,2x^2y - 6y^2$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(2,3x^2y + 1,2x^2y) + (1,1xy - 4,1xy) + (6y^2 - 6y^2) = 3,5x^2y - 3xy + 0 = 3,5x^2y - 3xy$

Теперь, когда выражение упрощено, можно подставлять в него значения переменных.

а) при $x=2, y=3$

Подставим значения $x=2$ и $y=3$ в упрощенное выражение $3,5x^2y - 3xy$:

$3,5 \cdot (2)^2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 \cdot 3 = 3,5 \cdot 4 \cdot 3 - 18 = 14 \cdot 3 - 18 = 42 - 18 = 24$

Ответ: 24

б) при $x=-1, y=4$

Подставим значения $x=-1$ и $y=4$ в упрощенное выражение $3,5x^2y - 3xy$:

$3,5 \cdot (-1)^2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) \cdot 4 = 3,5 \cdot 1 \cdot 4 - (-12) = 14 + 12 = 26$

Ответ: 26

6. Решите уравнение:

а) $2 - (1,2x - 14,4) = 10 + 2x;$

б) $5,6 - 1,2y + (3,4y - 0,2) = 5,4y + 11,8.$

а) $2 - (1,2x - 14,4) = 10 + 2x$

1. Раскроем скобки в левой части уравнения. Поскольку перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$2 - 1,2x + 14,4 = 10 + 2x$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части, сложив числовые значения:
$(2 + 14,4) - 1,2x = 10 + 2x$
$16,4 - 1,2x = 10 + 2x$

3. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числа — в левую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный:
$16,4 - 10 = 2x + 1,2x$

4. Упростим обе части уравнения:
$6,4 = 3,2x$

5. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $3,2$:
$x = \frac{6,4}{3,2}$
$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $5,6 - 1,2y + (3,4y - 0,2) = 5,4y + 11,8$

1. Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$5,6 - 1,2y + 3,4y - 0,2 = 5,4y + 11,8$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части, отдельно для слагаемых с $y$ и для чисел:
$(-1,2y + 3,4y) + (5,6 - 0,2) = 5,4y + 11,8$
$2,2y + 5,4 = 5,4y + 11,8$

3. Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть уравнения, а числа — в левую, меняя их знаки при переносе:
$5,4 - 11,8 = 5,4y - 2,2y$

4. Упростим обе части уравнения:
$-6,4 = 3,2y$

5. Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $3,2$:
$y = \frac{-6,4}{3,2}$
$y = -2$

Ответ: $-2$.

7. Представьте каким-либо способом в виде разности двух двучленов выражение:

а) $x^4 - 6x^2 + 5x - 2 = $

б) $y^3 + 8y - 6 - 2y^2 = $

а) Задача состоит в том, чтобы представить выражение $x^4 - 6x^2 + 5x - 2$ в виде разности двух двучленов. Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов (мономов). Это означает, что нам нужно найти два двучлена, например, $A$ и $B$, так чтобы исходное выражение было равно $A - B$. Существует множество способов это сделать, так как в условии указано "каким-либо способом". Один из самых простых подходов — сгруппировать члены исходного многочлена. Сгруппируем члены с положительными коэффициентами (подразумевается $+1$ у $x^4$ и $+5$ у $5x$) и члены с отрицательными коэффициентами ($-6x^2$ и $-2$).
Выражение: $x^4 - 6x^2 + 5x - 2$.
Группируем: $(x^4 + 5x) + (-6x^2 - 2)$.
Это сумма двух двучленов. Чтобы получить разность, вынесем знак минус из второй скобки:
$(x^4 + 5x) - (6x^2 + 2)$.
Проверим, раскрыв скобки: $x^4 + 5x - 6x^2 - 2$. Это исходное выражение, только с другим порядком членов, что не меняет его значения. Таким образом, мы представили выражение в виде разности двух двучленов: $(x^4 + 5x)$ и $(6x^2 + 2)$.
Ответ: $(x^4 + 5x) - (6x^2 + 2)$

б) Аналогично, представим выражение $y^3 + 8y - 6 - 2y^2$ в виде разности двух двучленов.
Воспользуемся тем же методом, что и в пункте а): сгруппируем члены с положительными и отрицательными знаками.
Выражение: $y^3 + 8y - 6 - 2y^2$.
Группа с положительными знаками: $y^3$ и $8y$.
Группа с отрицательными знаками: $-6$ и $-2y^2$.
Запишем выражение как сумму этих групп: $(y^3 + 8y) + (-2y^2 - 6)$.
Чтобы получить разность, вынесем $-1$ за скобки во второй группе:
$(y^3 + 8y) - (2y^2 + 6)$.
Проверим результат, раскрыв скобки: $y^3 + 8y - 2y^2 - 6$. Это в точности исходное выражение. Следовательно, мы представили выражение в виде разности двух двучленов: $(y^3 + 8y)$ и $(2y^2 + 6)$.
Ответ: $(y^3 + 8y) - (2y^2 + 6)$

8. Докажите, что при любом значении переменной $y$ значение выражения $-(y^2 - 9y + 12) + (3y^2 - y) - (2y^2 + 8y - 33)$ кратно 7.

Чтобы доказать, что значение выражения кратно 7 при любом значении переменной y, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение:

$-(y^2 - 9y + 12) + (3y^2 - y) - (2y^2 + 8y - 33)$

1. Раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$-y^2 + 9y - 12 + 3y^2 - y - 2y^2 - 8y + 33$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $y^2$, члены с y, и свободные члены (числа).

$(-y^2 + 3y^2 - 2y^2) + (9y - y - 8y) + (-12 + 33)$

3. Выполним вычисления в каждой группе.

Для членов с $y^2$: $-y^2 + 3y^2 - 2y^2 = (-1 + 3 - 2)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$.

Для членов с y: $9y - y - 8y = (9 - 1 - 8)y = 0 \cdot y = 0$.

Для свободных членов: $-12 + 33 = 21$.

4. Сложим полученные результаты:

$0 + 0 + 21 = 21$.

В результате упрощения мы получили число 21. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной y и всегда равно 21.

Так как число 21 делится на 7 без остатка ($21 \div 7 = 3$), то значение выражения кратно 7 при любом значении переменной y, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение равно 21. Так как $21 = 7 \cdot 3$, значение выражения кратно 7 при любом значении y.