Страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Сравните с единицей значение выражения и покажите результат сравнения с помощью стрелки.

$-\frac{1}{105} : \left(-\frac{1}{107}\right)$

$-0,25 : \left(-\frac{1}{4}\right)$

$\frac{6}{7} + \frac{1}{14}$

$-\frac{10}{11} + \frac{5}{6}$

$-1\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)$

$-0,75 \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)$

меньше 1

равно 1

больше 1

$-\frac{1}{105} : \left(-\frac{1}{107}\right)$

При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$-\frac{1}{105} : \left(-\frac{1}{107}\right) = \frac{1}{105} \cdot \frac{107}{1} = \frac{107}{105}$.
Сравним полученную дробь с единицей. Так как числитель $107$ больше знаменателя $105$, то дробь больше единицы:
$\frac{107}{105} > 1$.

Ответ: больше 1.

$\frac{6}{7} + \frac{1}{14}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $7$ и $14$ — это $14$.
$\frac{6}{7} + \frac{1}{14} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{1}{14} = \frac{12}{14} + \frac{1}{14} = \frac{12+1}{14} = \frac{13}{14}$.
Сравним полученную дробь с единицей. Так как числитель $13$ меньше знаменателя $14$, то дробь меньше единицы:
$\frac{13}{14} < 1$.

Ответ: меньше 1.

$-1\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)$

При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.
Теперь выполним умножение:
$-\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{12}{12} = 1$.
Значение выражения равно единице.

Ответ: равно 1.

$-0,25 : \left(-\frac{1}{4}\right)$

При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.
Теперь выполним деление:
$-\frac{1}{4} : \left(-\frac{1}{4}\right) = 1$.
Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно единице.

Ответ: равно 1.

$-\frac{10}{11} + \frac{5}{6}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $11$ и $6$ — это $66$.
$-\frac{10}{11} + \frac{5}{6} = -\frac{10 \cdot 6}{11 \cdot 6} + \frac{5 \cdot 11}{6 \cdot 11} = -\frac{60}{66} + \frac{55}{66} = \frac{-60+55}{66} = -\frac{5}{66}$.
Результат является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше положительного числа $1$:
$-\frac{5}{66} < 1$.

Ответ: меньше 1.

$-0,75 \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)$

При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби.
Десятичная дробь: $-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.
Смешанное число: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.
Теперь выполним умножение:
$-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{12}{12} = 1$.
Значение выражения равно единице.

Ответ: равно 1.

13. Имеются два раствора соли. В 100 г первого раствора содержится 6 г соли, а в 250 г второго раствора содержится 8 г соли. Концентрация какого из растворов больше?

Концентрация первого раствора равна ......................

Концентрация второго раствора равна ......................

Ответ: ......................

Для того чтобы определить, концентрация какого из растворов больше, необходимо рассчитать массовую долю соли для каждого раствора. Массовая доля (концентрация) вещества в растворе вычисляется по формуле:

$ \omega = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\% $

где $ \omega $ — это массовая доля (концентрация), $ m_{соли} $ — масса соли, а $ m_{раствора} $ — общая масса раствора.

Концентрация первого раствора равна

По условию, в 100 г первого раствора содержится 6 г соли. Подставим эти значения в формулу:

$ \omega_1 = \frac{6 \text{ г}}{100 \text{ г}} \times 100\% = 0.06 \times 100\% = 6\% $

Ответ: 6%.

Концентрация второго раствора равна

По условию, в 250 г второго раствора содержится 8 г соли. Подставим эти значения в формулу:

$ \omega_2 = \frac{8 \text{ г}}{250 \text{ г}} \times 100\% = 0.032 \times 100\% = 3.2\% $

Ответ: 3.2%.

Ответ:

Теперь сравним полученные значения концентраций двух растворов:

Концентрация первого раствора $ \omega_1 = 6\% $.

Концентрация второго раствора $ \omega_2 = 3.2\% $.

Поскольку $ 6\% > 3.2\% $, концентрация первого раствора больше, чем концентрация второго.

Ответ: Концентрация первого раствора больше.

14. Цену на товар сначала повысили на 15%, а затем снизили на 15%. Первоначальная цена товара составляла x р., а окончательная y р. Сравните числа x и y. Выберите верный ответ.

1. $x > y$

2. $x = y$

3. $x < y$

4. Сравнить нельзя, так как неизвестно значение x

Для решения этой задачи необходимо выразить конечную цену $y$ через первоначальную цену $x$ и сравнить их.

1. Повышение цены на 15%

Первоначальная цена товара составляла $x$ рублей. После повышения на 15% (или на $0.15$ от ее величины) цена стала равна: $x_1 = x + 0.15x = x(1 + 0.15) = 1.15x$

2. Снижение цены на 15%

Далее, новую цену $x_1 = 1.15x$ снизили на 15%. Важно отметить, что 15% вычисляются от новой, уже повышенной цены. Сумма скидки составит $0.15$ от $1.15x$. Окончательная цена $y$ вычисляется как: $y = 1.15x - 0.15 \times (1.15x)$

3. Вычисление и сравнение

Упростим выражение для $y$, вынеся общий множитель $1.15x$ за скобки: $y = 1.15x (1 - 0.15)$ $y = 1.15x \times 0.85$ Теперь перемножим числовые коэффициенты: $y = (1.15 \times 0.85)x$

Для вычисления произведения можно использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, заметив, что $1.15 = 1 + 0.15$ и $0.85 = 1 - 0.15$: $y = (1 + 0.15)(1 - 0.15)x = (1^2 - 0.15^2)x = (1 - 0.0225)x = 0.9775x$

Итак, мы получили соотношение между конечной и начальной ценой: $y = 0.9775x$. Поскольку цена $x$ является положительным числом, а коэффициент $0.9775$ меньше единицы, то $y$ будет меньше, чем $x$. $0.9775x < x \implies y < x$

Неравенство $y < x$ равносильно неравенству $x > y$. Это означает, что первоначальная цена была выше, чем конечная. Данный вывод соответствует варианту ответа №1.

Ответ: 1. $x > y$

15. Сравните площадь прямоугольника со сторонами 12 см и 36 см с площадью квадрата, имеющего тот же периметр.

Для сравнения площадей прямоугольника и квадрата, необходимо сначала вычислить эти площади, а для этого нужно знать параметры фигур.

1. Находим периметр и площадь прямоугольника.
Стороны прямоугольника равны $a = 12$ см и $b = 36$ см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.
Подставляем значения: $P_{прямоугольника} = 2(12 + 36) = 2 \times 48 = 96$ см.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$.
Подставляем значения: $S_{прямоугольника} = 12 \times 36 = 432$ см$^2$.

2. Находим сторону и площадь квадрата.
Согласно условию, периметр квадрата равен периметру прямоугольника, следовательно, $P_{квадрата} = 96$ см.
Периметр квадрата со стороной $c$ равен $P = 4c$. Из этой формулы мы можем найти длину стороны квадрата:
$c = \frac{P_{квадрата}}{4} = \frac{96}{4} = 24$ см.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = c^2$.
Подставляем значение стороны: $S_{квадрата} = 24^2 = 576$ см$^2$.

3. Сравниваем площади.
Теперь сравним вычисленные площади:
Площадь прямоугольника: $S_{прямоугольника} = 432$ см$^2$.
Площадь квадрата: $S_{квадрата} = 576$ см$^2$.
Поскольку $576 > 432$, площадь квадрата больше площади прямоугольника.
Найдем, на сколько площадь квадрата больше: $576 - 432 = 144$ см$^2$.
Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника на $144$ см$^2$.

6. Длина прямоугольника втрое больше его ширины. После увеличения его ширины на 2 м площадь прямоугольника увеличилась на 18 $m^2$. Определите первоначальные значения сторон прямоугольника.

Решение.

Обозначим через $x$ м первоначальную ширину прямоугольника, тогда его длина равна м, а площадь $m^2$. После увеличения ширина прямоугольника стала равна м, а площадь его стала равна $m^2$.

Составим уравнение и решим его:

Решение. Обозначим через $x$ м первоначальную ширину прямоугольника, тогда его длина равна $3x$ м, а площадь — $3x^2$ м². После увеличения ширины на 2 м она стала равна $x + 2$ м, а новая площадь стала равна $3x(x+2)$ м².

Составим уравнение и решим его:
По условию задачи, площадь прямоугольника увеличилась на 18 м². Это значит, что разница между новой и первоначальной площадью равна 18. Составим уравнение:
$S_{новая} - S_{первоначальная} = 18$
Подставим в уравнение выражения для площадей:
$3x(x + 2) - 3x^2 = 18$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3x^2 + 6x - 3x^2 = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$6x = 18$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:
$x = \frac{18}{6}$
$x = 3$
Таким образом, первоначальная ширина прямоугольника равна 3 м.
Так как длина втрое больше ширины, найдем первоначальную длину:
$3 \cdot x = 3 \cdot 3 = 9$ м.

Ответ: первоначальная ширина прямоугольника — 3 м, первоначальная длина — 9 м.