Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

11. Ученикам было предложено составить формулу для нахождения площади S фигуры, изображённой на рисунке 1, а. Один из учеников достроил фигуру до квадрата (рис. 1, б) и получил формулу $S=a^2-b^2$. Другой ученик разбил фигуру на два прямоугольника (рис. 1, в) и получил формулу $S=a(a-b)+b(a-b)$. Докажите, что выражения, записанные в правой части каждой из полученных формул, тождественно равны.

a) б) в) Рис. 1

В задаче представлены два способа вычисления площади $S$ фигуры. Первый способ (рис. 1, б) заключается в достраивании фигуры до большого квадрата со стороной $a$ и вычитании площади маленького квадрата со стороной $b$. Формула для площади в этом случае:

$S = a^2 - b^2$

Второй способ (рис. 1, в) заключается в разбиении фигуры на два прямоугольника. В задаче приведена формула, соответствующая разбиению фигуры на прямоугольник со сторонами $a$ и $a-b$ и прямоугольник со сторонами $b$ и $a-b$. Сумма их площадей дает общую площадь фигуры:

$S = a(a-b) + b(a-b)$

Чтобы доказать, что выражения в правых частях формул тождественно равны, необходимо показать, что $a^2 - b^2 = a(a-b) + b(a-b)$. Для этого преобразуем второе выражение, используя распределительный закон умножения (раскроем скобки).

Рассмотрим выражение $a(a-b) + b(a-b)$.

1. Раскроем первую скобку: $a(a-b) = a \cdot a - a \cdot b = a^2 - ab$.

2. Раскроем вторую скобку: $b(a-b) = b \cdot a - b \cdot b = ab - b^2$.

3. Сложим полученные результаты:

$a(a-b) + b(a-b) = (a^2 - ab) + (ab - b^2)$

4. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 + (-ab + ab) - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы преобразовали выражение $a(a-b) + b(a-b)$ и получили $a^2 - b^2$, что и является первым выражением. Это доказывает, что оба ученика получили тождественно равные формулы для площади фигуры.

Ответ: Преобразовав выражение $a(a-b) + b(a-b)$ путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, мы получили выражение $a^2 - b^2$. Так как в результате тождественных преобразований одного выражения мы получили второе, то эти выражения тождественно равны.

12. После приведения подобных слагаемых знаки + и -, стоящие в исходном выражении, оказались стёртыми. Восстановите их:

а) $3y \Box 6y \Box 4y \Box 2y = -y$;

б) $6a \Box 5b \Box 6b \Box 2a = 4a - b$.

а)

В данном выражении $3y \square 6y \square 4y \square 2y = -y$ все слагаемые являются подобными, так как содержат общую переменную $y$. Задача состоит в том, чтобы расставить знаки «+» или «-» в пустых квадратах так, чтобы в результате приведения подобных слагаемых получилось $-y$. Это значит, что сумма коэффициентов при переменной $y$ должна быть равна $-1$.

Составим уравнение для коэффициентов: $3 \pm 6 \pm 4 \pm 2 = -1$.

Можно решить это уравнение методом подбора. Проверим одну из возможных комбинаций. Предположим, что первый знак — «-», а второй — «+». Тогда получим: $3 - 6 + 4 = 1$. Чтобы в итоге получилось $-1$, от текущего результата $1$ нужно отнять $2$. Следовательно, третий знак должен быть «-».

Проверим получившуюся комбинацию знаков: «-», «+», «-».

$3 - 6 + 4 - 2 = -3 + 4 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Эта комбинация верна. Теперь подставим знаки в исходное выражение:

$3y - 6y + 4y - 2y = (3 - 6 + 4 - 2)y = -1y = -y$.

Равенство выполняется.

Ответ: $3y - 6y + 4y - 2y = -y$

б)

В выражении $6a \square 5b \square 6b \square 2a = 4a - b$ есть две группы подобных слагаемых: слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $b$. Чтобы в результате получилось выражение $4a - b$, необходимо, чтобы после приведения подобных слагаемых сумма членов с $a$ была равна $4a$, а сумма членов с $b$ была равна $-b$.

1. Сначала найдем знак для слагаемых с переменной $a$: $6a$ и $2a$. Знак между ними является третьим в исходном выражении.

$6a \square 2a = 4a$.

Очевидно, что для получения $4a$ из $6a$ нужно вычесть $2a$. Значит, третий знак — это «-».

$6a - 2a = 4a$.

2. Теперь найдем знаки для слагаемых с переменной $b$: $5b$ и $6b$. Перед ними стоят первый и второй знаки.

$\square 5b \square 6b = -b$.

Проверим возможные комбинации знаков:

• Если знаки «+» и «-»: $+5b - 6b = -b$. Этот вариант подходит.
• Если знаки «-» и «+»: $-5b + 6b = b$. Этот вариант не подходит.
• Если оба знака «+»: $+5b + 6b = 11b$. Этот вариант не подходит.
• Если оба знака «-»: $-5b - 6b = -11b$. Этот вариант не подходит.

Таким образом, первый знак в выражении — «+», а второй — «-».

Восстановим выражение полностью, подставив все найденные знаки: «+», «-», «-».

$6a + 5b - 6b - 2a$.

Проверим, сгруппировав подобные слагаемые:

$(6a - 2a) + (5b - 6b) = 4a + (-b) = 4a - b$.

Равенство выполняется.

Ответ: $6a + 5b - 6b - 2a = 4a - b$

13. Верно ли утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения $11(2n + 1) - 9(n - 4) - 21$ делится на 13?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проверить, будет ли результат кратен 13.

Дано выражение: $11(2n + 1) - 9(n - 4) - 21$.

Сначала раскроем скобки. Для этого умножим число перед каждой скобкой на каждое слагаемое внутри скобок:

$11 \cdot 2n + 11 \cdot 1 - 9 \cdot n - 9 \cdot (-4) - 21$

Выполним умножение:

$22n + 11 - 9n + 36 - 21$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $n$ и свободные члены (числа):

$(22n - 9n) + (11 + 36 - 21)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$13n + 26$

Мы получили выражение $13n + 26$. Чтобы доказать, что оно делится на 13, вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $13n$ и $26$ является 13, так как $26 = 13 \cdot 2$.

$13n + 26 = 13(n + 2)$

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то и сумма $(n + 2)$ также будет целым числом. Выражение $13(n + 2)$ представляет собой произведение числа 13 и целого числа $(n + 2)$. Любое такое произведение по определению делится на 13.

Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: Да, утверждение верно, так как после упрощения выражение принимает вид $13(n + 2)$, которое очевидно делится на 13 при любом натуральном $n$.

14. Является ли тождеством равенство:

а) $|a^2 + 11| = a^2 + 11;$

б) $|a^2 - 11| = a^2 - 11;$

в) $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + (4 + y^2);$

г) $|5 - a^2| + |5 + a^2| = 10?$

Ответ: а) ............... б) ............... в) ............... г) ...............

а) Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $a^2+11$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то выражение $a^2+11$ всегда будет больше или равно 11, то есть $a^2+11 > 0$. По определению модуля, $|X| = X$, если $X \ge 0$. Следовательно, равенство $|a^2+11| = a^2+11$ верно для любого значения $a$. Таким образом, это тождество.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим выражение под знаком модуля: $a^2-11$. Его знак зависит от значения $a$. Равенство $|a^2-11| = a^2-11$ будет верным только при условии, что подмодульное выражение неотрицательно, то есть $a^2-11 \ge 0$. Если же $a^2-11 < 0$ (например, при $a=0$), то равенство не выполняется. Проверим для $a=0$: левая часть $|0^2-11| = |-11| = 11$; правая часть $0^2-11 = -11$. Так как $11 \ne -11$, равенство не является тождеством, поскольку оно неверно для всех значений переменной.
Ответ: нет, не является.

в) Преобразуем правую часть равенства: $x^2 + (4 + y^2) = x^2 + y^2 + 4$. Таким образом, исходное равенство можно переписать как $|x^2 + y^2 + 4| = x^2 + y^2 + 4$. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2+y^2+4$. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$ и $y$, их сумма $x^2+y^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $x^2+y^2+4$ всегда положительно ($x^2+y^2+4 \ge 4$). Модуль положительного выражения равен самому выражению, поэтому равенство верно при любых значениях $x$ и $y$.
Ответ: да, является.

г) Рассмотрим равенство $|5 - a^2| + |5 + a^2| = 10$. Выражение $5+a^2$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \implies 5+a^2 \ge 5$). Значит, $|5+a^2|=5+a^2$. Подставим это в исходное равенство: $|5 - a^2| + 5 + a^2 = 10$. Отсюда $|5 - a^2| = 10 - 5 - a^2$, то есть $|5 - a^2| = 5 - a^2$. Это равенство верно только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно: $5 - a^2 \ge 0$, что равносильно $a^2 \le 5$. Если же $a^2 > 5$ (например, при $a=3$), равенство неверно. Проверим для $a=3$: левая часть $|5 - 3^2| + |5 + 3^2| = |5 - 9| + |5 + 9| = |-4| + |14| = 4 + 14 = 18$. Правая часть равна 10. Поскольку $18 \ne 10$, равенство не является тождеством.
Ответ: нет, не является.

1. Вынесите общий множитель за скобки:

а) $9a - 9b = $

б) $-15a + 10b = $

в) $6x - 12y + 18z = $

г) $70m + 35n - 14p = $

а) 9a - 9b =

В данном выражении оба члена, $9a$ и $-9b$, имеют общий числовой множитель. Чтобы найти его, определим наибольший общий делитель (НОД) их коэффициентов. В данном случае это 9. Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому общий множитель — это 9.
Вынесем 9 за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на 9:
$9a \div 9 = a$
$-9b \div 9 = -b$
Запишем общий множитель перед скобками, а результат деления — внутри скобок.

Ответ: $9(a - b)$

б) -15a + 10b =

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для модулей коэффициентов 15 и 10.
$15 = 3 \cdot 5$
$10 = 2 \cdot 5$
НОД(15, 10) = 5.
Так как первый член выражения ($-15a$) отрицательный, удобно вынести за скобки отрицательный множитель, то есть -5.
Разделим каждый член выражения на -5:
$-15a \div (-5) = 3a$
$10b \div (-5) = -2b$
В результате получаем:

Ответ: $-5(3a - 2b)$

в) 6x - 12y + 18z =

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, 12 и 18.
$6 = 2 \cdot 3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
НОД(6, 12, 18) = $2 \cdot 3 = 6$.
Общий множитель — 6. Переменные $x$, $y$, $z$ различны.
Разделим каждый член выражения на 6:
$6x \div 6 = x$
$-12y \div 6 = -2y$
$18z \div 6 = 3z$
Запишем результат:

Ответ: $6(x - 2y + 3z)$

г) 70m + 35n - 14p =

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 70, 35 и 14.
$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$
$14 = 2 \cdot 7$
НОД(70, 35, 14) = 7.
Общий множитель — 7. Переменные $m$, $n$, $p$ различны.
Разделим каждый член выражения на 7:
$70m \div 7 = 10m$
$35n \div 7 = 5n$
$-14p \div 7 = -2p$
Запишем результат:

Ответ: $7(10m + 5n - 2p)$

2. Вынесите за скобки числовой множитель двумя различными способами:

$-5x + 10y - 20z = 5(-x + 2y - 4z)$;

$-5x + 10y - 20z = -5(x - 2y + 4z)$

a) $-7a + 14b - 21c = $

$-7a + 14b - 21c = $

б) $9m - 6n - 12p = $

$9m - 6n - 12p = $

а)

Рассмотрим выражение $-7a + 14b - 21c$. Для того чтобы вынести числовой множитель за скобки, найдем наибольший общий делитель (НОД) для абсолютных значений коэффициентов: $|-7|$, $|14|$, $|-21|$.
НОД(7, 14, 21) = 7.
Это означает, что мы можем вынести за скобки множитель 7 или -7.

Первый способ: Вынесем за скобки положительный множитель 7. Для этого каждый член выражения разделим на 7:
$-7a + 14b - 21c = 7(\frac{-7a}{7} + \frac{14b}{7} - \frac{21c}{7}) = 7(-a + 2b - 3c)$.

Ответ: $7(-a + 2b - 3c)$

Второй способ: Вынесем за скобки отрицательный множитель -7. Для этого каждый член выражения разделим на -7, что приведет к смене знаков у каждого члена в скобках:
$-7a + 14b - 21c = -7(\frac{-7a}{-7} + \frac{14b}{-7} - \frac{21c}{-7}) = -7(a - 2b + 3c)$.

Ответ: $-7(a - 2b + 3c)$

б)

Рассмотрим выражение $9m - 6n - 12p$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для абсолютных значений коэффициентов: $|9|$, $|-6|$, $|-12|$.
НОД(9, 6, 12) = 3.
Это означает, что мы можем вынести за скобки множитель 3 или -3.

Первый способ: Вынесем за скобки положительный множитель 3. Для этого каждый член выражения разделим на 3:
$9m - 6n - 12p = 3(\frac{9m}{3} - \frac{6n}{3} - \frac{12p}{3}) = 3(3m - 2n - 4p)$.

Ответ: $3(3m - 2n - 4p)$

Второй способ: Вынесем за скобки отрицательный множитель -3. Для этого каждый член выражения разделим на -3, что приведет к смене знаков у каждого члена в скобках:
$9m - 6n - 12p = -3(\frac{9m}{-3} - \frac{6n}{-3} - \frac{12p}{-3}) = -3(-3m + 2n + 4p)$.

Ответ: $-3(-3m + 2n + 4p)$

3. Представьте двучлен в виде произведения одночлена и двучлена:

а) $3x + 6xy = $

б) $15y - 5y^2 = $

в) $-ab - a^2b^2 = $

г) $m^2n + mn^2 = $

а) Чтобы представить двучлен $3x + 6xy$ в виде произведения одночлена и двучлена, необходимо найти общий множитель для обоих членов и вынести его за скобки.
Члены двучлена: $3x$ и $6xy$.
Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 3 и 6. НОД(3, 6) = 3.
Находим общие переменные множители. В обоих членах присутствует переменная $x$ в первой степени.
Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки (одночлен), — это $3x$.
Теперь разделим каждый член исходного двучлена на этот общий множитель:
Первый член: $3x \div (3x) = 1$.
Второй член: $6xy \div (3x) = 2y$.
Запишем исходное выражение в виде произведения вынесенного за скобки одночлена и получившегося в скобках двучлена:
$3x + 6xy = 3x(1 + 2y)$.
Ответ: $3x(1 + 2y)$

б) Рассмотрим двучлен $15y - 5y^2$.
Члены двучлена: $15y$ и $-5y^2$.
Находим НОД для модулей числовых коэффициентов 15 и 5. НОД(15, 5) = 5.
Находим общие переменные. В первом члене переменная $y$ в первой степени ($y^1$), во втором — во второй ($y^2$). Общий переменный множитель — это переменная в наименьшей из имеющихся степеней, то есть $y$.
Следовательно, общий множитель (одночлен) для вынесения за скобки — это $5y$.
Разделим каждый член на $5y$:
$15y \div (5y) = 3$.
$-5y^2 \div (5y) = -y$.
Записываем результат:
$15y - 5y^2 = 5y(3 - y)$.
Ответ: $5y(3 - y)$

в) Рассмотрим двучлен $-ab - a^2b^2$.
Члены двучлена: $-ab$ и $-a^2b^2$.
Оба члена имеют отрицательный знак, поэтому можно вынести за скобки $-1$.
Рассмотрим переменные. В первом члене $a$ и $b$ находятся в первой степени, а во втором — во второй. Общие переменные в наименьших степенях — это $a^1$ и $b^1$.
Таким образом, общий множитель (одночлен) — это $-ab$.
Вынесем $-ab$ за скобки, для этого разделим каждый член исходного двучлена на $-ab$:
$-ab \div (-ab) = 1$.
$-a^2b^2 \div (-ab) = ab$.
В результате получаем:
$-ab - a^2b^2 = -ab(1 + ab)$.
Ответ: $-ab(1 + ab)$

г) Рассмотрим двучлен $m^2n + mn^2$.
Члены двучлена: $m^2n$ и $mn^2$.
Числовые коэффициенты обоих членов равны 1.
Рассмотрим переменные. Общая переменная $m$ в наименьшей степени — это $m$. Общая переменная $n$ в наименьшей степени — это $n$.
Следовательно, общий множитель (одночлен), который можно вынести за скобки, — это $mn$.
Разделим каждый член на $mn$:
$m^2n \div (mn) = m$.
$mn^2 \div (mn) = n$.
Записываем итоговое выражение:
$m^2n + mn^2 = mn(m + n)$.
Ответ: $mn(m + n)$