Страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. При каких значениях b уравнение $bx-1=16$:

а) имеет единственный корень;

б) не имеет корней?

Рассмотрим данное уравнение: $bx - 1 = 16$.

Для начала преобразуем уравнение, перенеся число -1 в правую часть с противоположным знаком:

$bx = 16 + 1$

$bx = 17$

Полученное уравнение является линейным относительно переменной $x$ с параметром $b$. Количество решений такого уравнения вида $ax=c$ зависит от значений коэффициентов $a$ и $c$. В нашем случае $a=b$ и $c=17$.

а) имеет единственный корень;

Линейное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при неизвестной переменной не равен нулю. В нашем случае это означает, что $b \neq 0$.

Если $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b$, чтобы найти уникальное решение для $x$:

$x = \frac{17}{b}$

Таким образом, при любом значении $b$, отличном от нуля, уравнение будет иметь ровно один корень.

Ответ: при $b \neq 0$.

б) не имеет корней?

Линейное уравнение не имеет корней в том случае, когда коэффициент при неизвестной переменной равен нулю, а правая часть уравнения (свободный член) не равна нулю. Это приводит к противоречию.

В нашем уравнении $bx = 17$, правая часть равна 17, то есть не равна нулю. Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ был равен нулю.

Подставим $b=0$ в уравнение:

$0 \cdot x = 17$

В левой части мы получаем ноль, а в правой — 17. Равенство принимает вид:

$0 = 17$

Это неверное числовое равенство, которое не выполняется ни при каком значении $x$. Следовательно, при $b=0$ исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при $b = 0$.

11. Равносильны ли уравнения:

а) $x - 6 = 0$ и $|x| = 6$;

б) $13x = 0$ и $x^2 = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, найдем корни для каждого из них и сравним множества решений.

а) $x - 6 = 0$ и $|x| = 6$

1. Решим первое уравнение $x - 6 = 0$.
Перенесем $-6$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 6$
Множество решений первого уравнения: $\{6\}$.

2. Решим второе уравнение $|x| = 6$.
По определению модуля, это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно 6. Этому условию удовлетворяют две точки:
$x_1 = 6$ и $x_2 = -6$
Множество решений второго уравнения: $\{-6, 6\}$.

3. Сравним множества решений.
Множество решений первого уравнения $\{6\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-6, 6\}$, так как второе уравнение имеет дополнительный корень $x = -6$.
Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.

б) $13x = 0$ и $x^2 = 0$

1. Решим первое уравнение $13x = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $13 \neq 0$, то остается только $x = 0$.
Или, разделим обе части уравнения на 13:
$x = \frac{0}{13}$
$x = 0$
Множество решений первого уравнения: $\{0\}$.

2. Решим второе уравнение $x^2 = 0$.
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль.
$x = 0$
Множество решений второго уравнения: $\{0\}$.

3. Сравним множества решений.
Множества решений обоих уравнений совпадают: $\{0\}$.
Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: да, уравнения равносильны.

12. Замените уравнение $0.03x=7$ равносильным уравнением с целым коэффициентом при $x$ и сформулируйте свойство уравнений, которое было использовано.

Уравнение: ...............

Уравнение: Дано уравнение $0,03x = 7$. Коэффициент при переменной $x$ является десятичной дробью $0,03$. Чтобы заменить это уравнение равносильным с целым коэффициентом, нужно умножить обе части уравнения на число, которое превратит $0,03$ в целое. Таким числом является $100$, так как $0,03 \cdot 100 = 3$.
Выполним умножение обеих частей уравнения на $100$:
$(0,03x) \cdot 100 = 7 \cdot 100$
$3x = 700$
Полученное уравнение $3x = 700$ равносильно исходному и имеет целый коэффициент при $x$.
Ответ: $3x = 700$.

Свойство уравнений, которое было использовано: Для преобразования уравнения было использовано одно из основных свойств уравнений. Оно формулируется следующим образом: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному (то есть имеющее те же корни).
В данном случае обе части уравнения были умножены на число $100$.
Ответ: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

13. Замените уравнение $1.5x-1=29$ равносильным уравнением вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — целые числа, и сформулируйте свойства уравнений, которые были использованы.

Чтобы заменить уравнение $1,5x - 1 = 29$ равносильным уравнением вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — целые числа, нужно выполнить следующие шаги, применяя свойства равносильных уравнений.

1. Перенос слагаемых.

Первое преобразование заключается в том, чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$ в одной части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $-1$ из левой части в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$1,5x = 29 + 1$

$1,5x = 30$

Это преобразование основано на свойстве: если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному. (Это следствие из свойства о прибавлении к обеим частям уравнения одного и того же числа).

2. Умножение обеих частей уравнения на число.

Полученное уравнение $1,5x = 30$ уже близко к требуемому виду, но коэффициент $a=1,5$ не является целым числом. Чтобы коэффициент стал целым, нужно умножить обе части уравнения на такое число, чтобы десятичная дробь превратилась в целое. Умножим обе части на 2.

$(1,5x) \cdot 2 = 30 \cdot 2$

$3x = 60$

Данное преобразование опирается на свойство: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

В результате мы получили уравнение $3x = 60$, которое является равносильным исходному уравнению $1,5x - 1 = 29$. В уравнении $3x=60$ коэффициенты $a=3$ и $b=60$ являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равносильное уравнение: $3x = 60$.
Использованные свойства уравнений:
1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получится равносильное уравнение.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равносильное уравнение.

14. Разложите на множители:

a) $(m - 3n)(2m + 5n) - (3n - m)(m + 4)=$

б) $(4b - y)(3b + 2y) + (b - 6y)(y - 4b)=$

а) Чтобы разложить на множители выражение $(m-3n)(2m+5n)-(3n-m)(m+4)$, заметим, что множители $(m-3n)$ и $(3n-m)$ являются противоположными. То есть, $(3n-m) = -(m-3n)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(m-3n)(2m+5n) - (-(m-3n))(m+4)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус (минус на минус дает плюс):

$(m-3n)(2m+5n) + (m-3n)(m+4)$

Теперь мы видим общий множитель $(m-3n)$, который можно вынести за скобки, используя распределительный закон:

$(m-3n) \cdot ((2m+5n) + (m+4))$

Упростим выражение во второй скобке, сложив подобные слагаемые:

$(m-3n) \cdot (2m+5n+m+4) = (m-3n)(3m+5n+4)$

Дальнейшее разложение на множители невозможно, так как в трехчлене $(3m+5n+4)$ нет общих множителей.

Ответ: $(m-3n)(3m+5n+4)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $(4b-y)(3b+2y)+(b-6y)(y-4b)$, заметим, что множители $(4b-y)$ и $(y-4b)$ являются противоположными. То есть, $(y-4b) = -(4b-y)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(4b-y)(3b+2y)+(b-6y)(-(4b-y))$

Изменим знак перед вторым слагаемым:

$(4b-y)(3b+2y)-(b-6y)(4b-y)$

Теперь мы видим общий множитель $(4b-y)$, который можно вынести за скобки:

$(4b-y) \cdot ((3b+2y) - (b-6y))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки (помним, что минус перед скобкой меняет знаки слагаемых внутри) и приведя подобные слагаемые:

$(4b-y) \cdot (3b+2y-b+6y) = (4b-y)( (3b-b) + (2y+6y) ) = (4b-y)(2b+8y)$

Заметим, что во второй скобке $(2b+8y)$ можно вынести общий числовой множитель 2:

$(4b-y) \cdot 2(b+4y)$

Запишем в стандартном виде, вынеся числовой множитель вперед:

$2(4b-y)(b+4y)$

Ответ: $2(4b-y)(b+4y)$.

15. Решите уравнение:

a) $2x^2(x - 1) + 4x^3 - 6x(x^2 + 5) = 0;$

б) $7y(y^2 + 2) - 5y^3 - 2y^2(y - 3) = 0.$

а) $2x^2(x - 1) + 4x^3 - 6x(x^2 + 5) = 0$

Сначала раскроем скобки в каждом слагаемом:

$2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-1) + 4x^3 - 6x \cdot x^2 - 6x \cdot 5 = 0$

$2x^3 - 2x^2 + 4x^3 - 6x^3 - 30x = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(2x^3 + 4x^3 - 6x^3) - 2x^2 - 30x = 0$

Выполним действия в скобках:

$0 \cdot x^3 - 2x^2 - 30x = 0$

$-2x^2 - 30x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:

$-2x(x + 15) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

1) $-2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x + 15 = 0 \implies x_2 = -15$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -15$.

б) $7y(y^2 + 2) - 5y^3 - 2y^2(y - 3) = 0$

Сначала раскроем скобки в каждом слагаемом:

$7y \cdot y^2 + 7y \cdot 2 - 5y^3 - 2y^2 \cdot y - 2y^2 \cdot (-3) = 0$

$7y^3 + 14y - 5y^3 - 2y^3 + 6y^2 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $y$:

$(7y^3 - 5y^3 - 2y^3) + 6y^2 + 14y = 0$

Выполним действия в скобках:

$0 \cdot y^3 + 6y^2 + 14y = 0$

$6y^2 + 14y = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2y(3y + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

1) $2y = 0 \implies y_1 = 0$

2) $3y + 7 = 0 \implies 3y = -7 \implies y_2 = -\frac{7}{3}$

Ответ: $y_1 = 0$, $y_2 = -\frac{7}{3}$.

16. Докажите, что разность четырёхзначных чисел $ \overline{abcd} $ и $ \overline{dcba} $ кратна 9.

Пусть даны два четырехзначных числа $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$. Чтобы доказать, что их разность кратна 9, представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых. В этой записи $a, b, c, d$ являются цифрами от 0 до 9, причем, поскольку числа четырехзначные, $a \neq 0$ и $d \neq 0$.

Первое число можно записать как:

$\overline{abcd} = 1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot c + d$

Второе число, цифры которого записаны в обратном порядке, можно записать как:

$\overline{dcba} = 1000 \cdot d + 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих чисел (предполагая, что $\overline{abcd} \ge \overline{dcba}$, в противном случае разность будет отрицательной, но все равно кратной 9):

$\overline{abcd} - \overline{dcba} = (1000a + 100b + 10c + d) - (1000d + 100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми буквенными множителями:

$1000a - a + 100b - 10b + 10c - 100c + d - 1000d$

Приведем подобные слагаемые:

$999a + 90b - 90c - 999d$

Теперь вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9 \cdot (111a + 10b - 10c - 111d)$

Поскольку $a, b, c, d$ — это целые числа (цифры), то выражение в скобках $(111a + 10b - 10c - 111d)$ также является целым числом. Вся разность представляет собой произведение числа 9 на целое число, что по определению означает, что разность кратна 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: разность чисел $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$ всегда кратна 9, так как она может быть представлена в виде $9 \cdot (111a + 10b - 10c - 111d)$, где выражение в скобках является целым числом.