Страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

13. Существует ли такое значение $m$, при котором значения выражений $(15+m)-(2+3m)$ и $3(m+2)-(2-m)$ являются противоположными числами?

Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Чтобы определить, существует ли такое значение $m$, при котором значения данных выражений противоположны, нужно приравнять их сумму к нулю и решить получившееся уравнение.

Упрощение выражений

Сначала упростим каждое из данных выражений.

Первое выражение: $(15+m)-(2+3m) = 15 + m - 2 - 3m = (15 - 2) + (m - 3m) = 13 - 2m$

Второе выражение: $3(m+2)-(2-m) = 3m + 6 - 2 + m = (3m + m) + (6 - 2) = 4m + 4$

Составление и решение уравнения

Теперь составим уравнение, исходя из того, что сумма этих выражений равна нулю: $(13 - 2m) + (4m + 4) = 0$

Решим это уравнение относительно $m$: $13 - 2m + 4m + 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые: $(-2m + 4m) + (13 + 4) = 0$ $2m + 17 = 0$

Перенесем 17 в правую часть уравнения, изменив знак: $2m = -17$

Найдем $m$: $m = -\frac{17}{2}$ $m = -8.5$

Поскольку мы нашли конкретное значение $m$, при котором условие задачи выполняется, можно сделать вывод, что такое значение существует.

Проверка

Подставим найденное значение $m = -8.5$ в упрощенные выражения, чтобы убедиться в правильности решения:

Значение первого выражения: $13 - 2(-8.5) = 13 + 17 = 30$.

Значение второго выражения: $4(-8.5) + 4 = -34 + 4 = -30$.

Числа $30$ и $-30$ являются противоположными, так как их сумма $30 + (-30) = 0$.

Ответ: да, такое значение $m$ существует, оно равно $-8.5$.

14. При каких значениях $b$ уравнение $bx=3b-2$:

а) имеет один корень;

б) имеет бесконечно много корней;

в) не имеет корней?

Данное уравнение $bx = 3b - 2$ является линейным уравнением с параметром $b$. Его можно представить в общем виде $ax = c$, где коэффициент $a = b$, а свободный член $c = 3b - 2$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $a$ и $c$.

а) имеет один корень;
Линейное уравнение имеет ровно один корень, когда коэффициент при неизвестном $x$ не равен нулю. В данном случае это условие записывается как $b \ne 0$.
Если $b \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b$ и найти этот единственный корень:
$x = \frac{3b - 2}{b}$
Следовательно, уравнение имеет один корень при любом значении $b$, отличном от нуля.
Ответ: $b \ne 0$.

б) имеет бесконечно много корней;
Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно обращается в тождество $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, если и коэффициент при $x$, и правая часть уравнения одновременно равны нулю.
Запишем это в виде системы условий:
$ \begin{cases} b = 0 \\ 3b - 2 = 0 \end{cases} $
Проверим, могут ли эти условия выполняться одновременно. Если $b = 0$, то правая часть уравнения становится равной $3(0) - 2 = -2$.
Так как $-2 \ne 0$, второе условие ($3b - 2 = 0$) не выполняется. Система не имеет решений, а значит, не существует такого значения $b$, при котором уравнение имело бы бесконечно много корней.
Ответ: таких значений $b$ не существует.

в) не имеет корней?
Уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = c$, где $c$ — любое число, не равное нулю. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть — нет.
Запишем это в виде системы условий:
$ \begin{cases} b = 0 \\ 3b - 2 \ne 0 \end{cases} $
При $b = 0$ коэффициент при $x$ равен нулю. Проверим правую часть при этом значении $b$:
$3(0) - 2 = -2$
Поскольку $-2 \ne 0$, второе условие выполняется. При $b = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$, что является неверным равенством для любого $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: $b = 0$.

15. Укажите три каких-либо значения $a$, при которых корнем уравнения $ax = \frac{3}{7}$ является натуральное число.

По условию задачи, корень уравнения $ax = \frac{3}{7}$ должен быть натуральным числом. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Обозначим корень уравнения $x$ как $n$, где $n$ — натуральное число.

Сначала выразим $x$ из данного уравнения. Для этого разделим обе части на коэффициент $a$ (при условии, что $a \neq 0$):$x = \frac{3}{7a}$

Так как $x$ должен быть натуральным числом $n$, мы можем записать следующее равенство:$n = \frac{3}{7a}$

Теперь из этого соотношения выразим параметр $a$ через $n$:$7an = 3$$a = \frac{3}{7n}$

Данная формула позволяет найти искомые значения $a$, подставляя в нее различные натуральные числа $n$. Нам нужно указать три таких значения.

1. Выберем $n=1$.
$a = \frac{3}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$
При этом значении $a$ уравнение принимает вид $\frac{3}{7}x = \frac{3}{7}$, откуда корень $x=1$, что является натуральным числом.

2. Выберем $n=2$.
$a = \frac{3}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}$
При этом значении $a$ уравнение принимает вид $\frac{3}{14}x = \frac{3}{7}$, откуда корень $x = \frac{3}{7} \div \frac{3}{14} = \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3} = 2$, что является натуральным числом.

3. Выберем $n=3$.
$a = \frac{3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$
При этом значении $a$ уравнение принимает вид $\frac{1}{7}x = \frac{3}{7}$, откуда корень $x=3$, что является натуральным числом.

Таким образом, мы нашли три примера значений $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $\frac{3}{7}, \frac{3}{14}, \frac{1}{7}$.

16. При каких значениях $p$ уравнение $px-1=4x+1$:

а) имеет один корень;

б) имеет бесконечно много корней;

в) не имеет корней?

Для того чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра $p$, преобразуем данное уравнение:

$$px - 1 = 4x + 1$$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой:

$$px - 4x = 1 + 1$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(p - 4) = 2$$

Мы получили линейное уравнение вида $Ax = B$, где коэффициент $A = p - 4$, а свободный член $B = 2$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $A$ и $B$.

а) имеет один корень

Линейное уравнение имеет единственный корень в том и только в том случае, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю.

В нашем случае это условие выглядит так: $A \neq 0$.

$$p - 4 \neq 0$$

$$p \neq 4$$

Таким образом, если параметр $p$ не равен 4, уравнение будет иметь один корень, который можно найти по формуле $x = \frac{2}{p-4}$.

Ответ: уравнение имеет один корень при всех значениях $p$, кроме $p=4$, то есть при $p \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) имеет бесконечно много корней

Уравнение вида $Ax = B$ имеет бесконечно много корней, если оно превращается в тождество $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда оба коэффициента равны нулю: $A = 0$ и $B = 0$.

Для нашего уравнения должны выполняться следующие условия:

1) $p - 4 = 0$, откуда $p = 4$.

2) $2 = 0$.

Второе условие ($2 = 0$) является ложным и не может быть выполнено ни при каком значении $p$. Следовательно, не существует такого значения $p$, при котором данное уравнение имело бы бесконечно много корней.

Ответ: не существует таких значений $p$.

в) не имеет корней

Уравнение вида $Ax = B$ не имеет корней, если оно превращается в противоречие вида $0 \cdot x = B$, где $B \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент при переменной равен нулю, а свободный член не равен нулю: $A = 0$ и $B \neq 0$.

Для нашего уравнения должны выполняться следующие условия:

1) $p - 4 = 0$, откуда $p = 4$.

2) $2 \neq 0$.

Второе условие ($2 \neq 0$) всегда истинно. Следовательно, если $p=4$, уравнение не будет иметь корней. При подстановке $p=4$ в уравнение $x(p-4) = 2$ получаем $x(4-4) = 2$, или $0 \cdot x = 2$, что является неверным равенством.

Ответ: уравнение не имеет корней при $p = 4$.

7. Число рядов зрительного зала вдвое меньше числа кресел в каждом ряду. После ремонта и замены кресел в зале стало на 2 ряда больше, а в каждом ряду — на 3 кресла больше, при этом общее число мест в зрительном зале увеличилось на 146. Сколько рядов было в зрительном зале до ремонта?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r$ — это первоначальное число рядов в зрительном зале.

Согласно условию, "число рядов зрительного зала вдвое меньше числа кресел в каждом ряду". Это означает, что число кресел в каждом ряду вдвое больше числа рядов. Таким образом, число кресел в каждом ряду до ремонта составляло $2r$.

Общее число мест в зале до ремонта равно произведению числа рядов на число кресел в ряду: $N_1 = r \cdot 2r = 2r^2$

После ремонта и замены кресел число рядов увеличилось на 2, то есть стало $r + 2$. Число кресел в каждом ряду увеличилось на 3, то есть стало $2r + 3$.

Новое общее число мест в зале после ремонта рассчитывается как: $N_2 = (r + 2)(2r + 3)$

В условии сказано, что общее число мест увеличилось на 146. Это значит, что разница между новым и старым количеством мест составляет 146. Составим уравнение: $N_2 - N_1 = 146$ $(r + 2)(2r + 3) - 2r^2 = 146$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки: $(r \cdot 2r) + (r \cdot 3) + (2 \cdot 2r) + (2 \cdot 3) - 2r^2 = 146$ $2r^2 + 3r + 4r + 6 - 2r^2 = 146$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: $(2r^2 - 2r^2) + (3r + 4r) + 6 = 146$ $7r + 6 = 146$

Перенесем 6 в правую часть уравнения: $7r = 146 - 6$ $7r = 140$

Найдем значение $r$: $r = \frac{140}{7}$ $r = 20$

Таким образом, мы выяснили, что до ремонта в зрительном зале было 20 рядов.

Ответ: 20.

8. Выполните действие, если известно, что $x=a-b$, $y=2a+b$:

a) $4x-3y=$

б) $5x-xy=$

а)
Для того чтобы выполнить действие в выражении $4x - 3y$, подставим в него заданные значения $x = a - b$ и $y = 2a + b$.
$4x - 3y = 4(a - b) - 3(2a + b)$
Раскроем скобки. Для этого умножим число перед каждой скобкой на каждый член внутри скобок:
$4 \cdot a - 4 \cdot b - 3 \cdot 2a - 3 \cdot b = 4a - 4b - 6a - 3b$
Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$:
$(4a - 6a) + (-4b - 3b) = -2a - 7b$
Ответ: $-2a - 7b$

б)
Для того чтобы выполнить действие в выражении $5x - xy$, подставим в него заданные значения $x = a - b$ и $y = 2a + b$.
$5x - xy = 5(a - b) - (a - b)(2a + b)$
Сначала раскроем скобки в произведении $(a - b)(2a + b)$, используя правило умножения многочленов ("фонтанчиком"):
$(a - b)(2a + b) = a \cdot 2a + a \cdot b - b \cdot 2a - b \cdot b = 2a^2 + ab - 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:
$2a^2 + (ab - 2ab) - b^2 = 2a^2 - ab - b^2$
Теперь подставим этот результат обратно в исходное выражение:
$5(a - b) - (2a^2 - ab - b^2)$
Раскроем оставшиеся скобки. Обратите внимание на знак "минус" перед второй скобкой, который меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:
$5a - 5b - 2a^2 + ab + b^2$
В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно. Для удобства можно переписать члены в стандартном порядке (по убыванию степеней):
$-2a^2 + b^2 + ab + 5a - 5b$
Ответ: $-2a^2 + b^2 + ab + 5a - 5b$

9. Представьте выражение в виде многочлена:

$ -4y^2(y - 2)(3 - y) = -4y^2(3y - 6 - y^2 + 2y) = -4y^2(5y - 6 - y^2) = -20y^3 + 24y^2 + 4y^4 $

a) $ -2x^3(x - 4)(1 - x) = $

б) $ 3a^2(a - 5)(2 - a) = $

а) $-2x^3(x-4)(1-x)$

Для того чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо последовательно выполнить умножение. Сначала перемножим выражения в скобках, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(x-4)(1-x) = x \cdot 1 + x \cdot (-x) - 4 \cdot 1 - 4 \cdot (-x) = x - x^2 - 4 + 4x$

Теперь приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$-x^2 + (x+4x) - 4 = -x^2 + 5x - 4$

Далее, умножим результат на одночлен $-2x^3$. Для этого нужно умножить $-2x^3$ на каждый член многочлена $-x^2 + 5x - 4$:

$-2x^3(-x^2 + 5x - 4) = (-2x^3) \cdot (-x^2) + (-2x^3) \cdot (5x) + (-2x^3) \cdot (-4)$

Выполняем умножение, складывая степени при одинаковых основаниях:

$2x^{3+2} - 10x^{3+1} + 8x^3 = 2x^5 - 10x^4 + 8x^3$

Ответ: $2x^5 - 10x^4 + 8x^3$

б) $3a^2(a-5)(2-a)$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала перемножаем двучлены в скобках:

$(a-5)(2-a) = a \cdot 2 + a \cdot (-a) - 5 \cdot 2 - 5 \cdot (-a) = 2a - a^2 - 10 + 5a$

Приводим подобные слагаемые:

$-a^2 + (2a+5a) - 10 = -a^2 + 7a - 10$

Теперь умножаем полученный многочлен на одночлен $3a^2$:

$3a^2(-a^2 + 7a - 10) = (3a^2) \cdot (-a^2) + (3a^2) \cdot (7a) + (3a^2) \cdot (-10)$

Выполняем умножение:

$-3a^{2+2} + 21a^{2+1} - 30a^2 = -3a^4 + 21a^3 - 30a^2$

Ответ: $-3a^4 + 21a^3 - 30a^2$