Номер 14, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

7. Линейное уравнение с одной переменной. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 14, страница 29.

Условие.

14. При каких значениях $b$ уравнение $bx=3b-2$:

а) имеет один корень;

б) имеет бесконечно много корней;

в) не имеет корней?

Решение.

Решение 2.

Данное уравнение $bx = 3b - 2$ является линейным уравнением с параметром $b$. Его можно представить в общем виде $ax = c$, где коэффициент $a = b$, а свободный член $c = 3b - 2$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $a$ и $c$.

а) имеет один корень;
Линейное уравнение имеет ровно один корень, когда коэффициент при неизвестном $x$ не равен нулю. В данном случае это условие записывается как $b \ne 0$.
Если $b \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b$ и найти этот единственный корень:
$x = \frac{3b - 2}{b}$
Следовательно, уравнение имеет один корень при любом значении $b$, отличном от нуля.
Ответ: $b \ne 0$.

б) имеет бесконечно много корней;
Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно обращается в тождество $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, если и коэффициент при $x$, и правая часть уравнения одновременно равны нулю.
Запишем это в виде системы условий:
$ \begin{cases} b = 0 \\ 3b - 2 = 0 \end{cases} $
Проверим, могут ли эти условия выполняться одновременно. Если $b = 0$, то правая часть уравнения становится равной $3(0) - 2 = -2$.
Так как $-2 \ne 0$, второе условие ($3b - 2 = 0$) не выполняется. Система не имеет решений, а значит, не существует такого значения $b$, при котором уравнение имело бы бесконечно много корней.
Ответ: таких значений $b$ не существует.

в) не имеет корней?
Уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = c$, где $c$ — любое число, не равное нулю. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть — нет.
Запишем это в виде системы условий:
$ \begin{cases} b = 0 \\ 3b - 2 \ne 0 \end{cases} $
При $b = 0$ коэффициент при $x$ равен нулю. Проверим правую часть при этом значении $b$:
$3(0) - 2 = -2$
Поскольку $-2 \ne 0$, второе условие выполняется. При $b = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$, что является неверным равенством для любого $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: $b = 0$.