Номер 16, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

7. Линейное уравнение с одной переменной. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 16, страница 29.

Условие.

16. При каких значениях $p$ уравнение $px-1=4x+1$:

а) имеет один корень;

б) имеет бесконечно много корней;

в) не имеет корней?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра $p$, преобразуем данное уравнение:

$$px - 1 = 4x + 1$$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой:

$$px - 4x = 1 + 1$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(p - 4) = 2$$

Мы получили линейное уравнение вида $Ax = B$, где коэффициент $A = p - 4$, а свободный член $B = 2$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $A$ и $B$.

а) имеет один корень

Линейное уравнение имеет единственный корень в том и только в том случае, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю.

В нашем случае это условие выглядит так: $A \neq 0$.

$$p - 4 \neq 0$$

$$p \neq 4$$

Таким образом, если параметр $p$ не равен 4, уравнение будет иметь один корень, который можно найти по формуле $x = \frac{2}{p-4}$.

Ответ: уравнение имеет один корень при всех значениях $p$, кроме $p=4$, то есть при $p \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) имеет бесконечно много корней

Уравнение вида $Ax = B$ имеет бесконечно много корней, если оно превращается в тождество $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда оба коэффициента равны нулю: $A = 0$ и $B = 0$.

Для нашего уравнения должны выполняться следующие условия:

1) $p - 4 = 0$, откуда $p = 4$.

2) $2 = 0$.

Второе условие ($2 = 0$) является ложным и не может быть выполнено ни при каком значении $p$. Следовательно, не существует такого значения $p$, при котором данное уравнение имело бы бесконечно много корней.

Ответ: не существует таких значений $p$.

в) не имеет корней

Уравнение вида $Ax = B$ не имеет корней, если оно превращается в противоречие вида $0 \cdot x = B$, где $B \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент при переменной равен нулю, а свободный член не равен нулю: $A = 0$ и $B \neq 0$.

Для нашего уравнения должны выполняться следующие условия:

1) $p - 4 = 0$, откуда $p = 4$.

2) $2 \neq 0$.

Второе условие ($2 \neq 0$) всегда истинно. Следовательно, если $p=4$, уравнение не будет иметь корней. При подстановке $p=4$ в уравнение $x(p-4) = 2$ получаем $x(4-4) = 2$, или $0 \cdot x = 2$, что является неверным равенством.

Ответ: уравнение не имеет корней при $p = 4$.