Номер 18, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

7. Линейное уравнение с одной переменной. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 18, страница 30.

Условие.

18. Найдите все натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $ax - 16 = 5x - 1$ является натуральным числом.

Решение.

Решение 2.

Нам дано линейное уравнение $ax - 16 = 5x - 1$. По условию, параметр $a$ является натуральным числом, и корень уравнения $x$ также должен быть натуральным числом.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $x$. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой: $ax - 5x = 16 - 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части: $x(a - 5) = 15$

Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $(a - 5)$. Это действие возможно при условии, что $a - 5 \neq 0$.

Если $a - 5 = 0$, то есть $a = 5$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 15$, что является неверным равенством ($0 = 15$). Следовательно, при $a = 5$ уравнение не имеет решений. Поскольку $a$ по условию — натуральное число, этот случай необходимо было рассмотреть.

При $a \neq 5$, мы можем выразить $x$: $x = \frac{15}{a - 5}$

Согласно условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$), то есть целым положительным числом.

Чтобы значение дроби было целым числом, ее знаменатель $(a - 5)$ должен быть делителем числителя, то есть числа 15. Множество всех целых делителей числа 15: $\{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\}$.

Чтобы значение $x$ было положительным, числитель и знаменатель дроби должны иметь одинаковые знаки. Поскольку числитель 15 положителен, знаменатель $(a - 5)$ также должен быть положительным.

Таким образом, выражение $(a - 5)$ должно быть одним из положительных делителей числа 15. Положительными делителями числа 15 являются 1, 3, 5, 15.

Рассмотрим все возможные случаи для $(a - 5)$:

• Если $a - 5 = 1$, то $a = 1 + 5 = 6$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{1} = 15$. Оба числа, $a=6$ и $x=15$, являются натуральными, что удовлетворяет условию.
• Если $a - 5 = 3$, то $a = 3 + 5 = 8$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{3} = 5$. Оба числа, $a=8$ и $x=5$, являются натуральными.
• Если $a - 5 = 5$, то $a = 5 + 5 = 10$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{5} = 3$. Оба числа, $a=10$ и $x=3$, являются натуральными.
• Если $a - 5 = 15$, то $a = 15 + 5 = 20$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{15} = 1$. Оба числа, $a=20$ и $x=1$, являются натуральными.

Мы нашли все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 6, 8, 10, 20.