Страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Решите уравнение:

а) $8x = 5$;

б) $\frac{2}{9}x = 0$;

в) $-\frac{1}{3}x = 7$.

а) Дано линейное уравнение $8x = 5$.
Чтобы найти значение переменной $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 8.
$x = \frac{5}{8}$
Это и есть корень уравнения. Его также можно представить в виде десятичной дроби:
$x = 0.625$
Ответ: $x = \frac{5}{8}$.

б) Дано уравнение $\frac{2}{9}x = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Поскольку первый множитель $\frac{2}{9}$ не равен нулю, то второй множитель $x$ обязательно должен быть равен нулю.
$x = 0$
Также можно решить, разделив обе части на коэффициент $\frac{2}{9}$:
$x = 0 \div \frac{2}{9} = 0$
Ответ: $x = 0$.

в) Дано уравнение $-\frac{1}{3}x = 7$.
Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-\frac{1}{3}$.
$x = 7 \div (-\frac{1}{3})$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $-\frac{1}{3}$ — это $-3$.
$x = 7 \cdot (-3)$
$x = -21$
Ответ: $x = -21$.

2. При каких значениях $y$ значение выражения $6y$ равно:

а) 216;

б) -1;

в) 0;

г) $- \frac{1}{3}$?

а) $6y=216$; .......................

Чтобы найти значения переменной y, при которых выражение 6y принимает заданные значения, необходимо для каждого случая решить соответствующее уравнение.

а) Найдем значение y, при котором выражение 6y равно 216. Составим и решим уравнение:
$6y = 216$
Чтобы найти y, который является неизвестным множителем, нужно произведение (216) разделить на известный множитель (6).
$y = \frac{216}{6}$
$y = 36$
Проверка: $6 \times 36 = 216$.
Ответ: 36

б) Найдем значение y, при котором выражение 6y равно -1. Составим и решим уравнение:
$6y = -1$
Разделим обе части уравнения на 6:
$y = \frac{-1}{6}$
$y = -\frac{1}{6}$
Проверка: $6 \times (-\frac{1}{6}) = -1$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$

в) Найдем значение y, при котором выражение 6y равно 0. Составим и решим уравнение:
$6y = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $6 \neq 0$, то $y$ должен быть равен 0.
$y = \frac{0}{6}$
$y = 0$
Проверка: $6 \times 0 = 0$.
Ответ: 0

г) Найдем значение y, при котором выражение 6y равно $-\frac{1}{3}$. Составим и решим уравнение:
$6y = -\frac{1}{3}$
Разделим обе части уравнения на 6:
$y = (-\frac{1}{3}) \div 6$
$y = -\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}$
$y = -\frac{1}{18}$
Проверка: $6 \times (-\frac{1}{18}) = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{18}$

3. Решая уравнение вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, ученик нашёл его корень $x$. Впишите соответствующее значение $a$:

а) ..... $x=16$, $x=2$;

б) ..... $x=-10$, $x=5$;

в) ..... $x=7$, $x=-1$;

г) ..... $x=-45$, $x=-9$.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой $ax=b$. Чтобы найти неизвестный коэффициент $a$, зная корень $x$ и число $b$, нужно выразить $a$ из этой формулы. Если $x \neq 0$, то $a = \frac{b}{x}$.

а)

В данном случае уравнение имеет вид $ax = 16$, а его корень $x=2$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения $a$:

$a = \frac{16}{2}$

$a = 8$

Проверка: $8 \cdot 2 = 16$. Верно.

Ответ: 8

б)

Уравнение имеет вид $ax = -10$, а его корень $x=5$.

Подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{-10}{5}$

$a = -2$

Проверка: $(-2) \cdot 5 = -10$. Верно.

Ответ: -2

в)

Уравнение имеет вид $ax = 7$, а его корень $x=-1$.

Подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{7}{-1}$

$a = -7$

Проверка: $(-7) \cdot (-1) = 7$. Верно.

Ответ: -7

г)

Уравнение имеет вид $ax = -45$, а его корень $x=-9$.

Подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{-45}{-9}$

$a = 5$

Проверка: $5 \cdot (-9) = -45$. Верно.

Ответ: 5

4. При каких натуральных значениях $a$ корнем уравнения $ax=18$ является натуральное число?

Дано уравнение $ax = 18$. По условию задачи, параметр $a$ должен быть натуральным числом, и корень уравнения $x$ также должен быть натуральным числом. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$).

Для того чтобы найти корень уравнения, выразим $x$. Поскольку $a$ является натуральным числом, то $a \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x = \frac{18}{a}$

Чтобы значение $x$ было натуральным числом, результат деления $18$ на $a$ должен быть целым положительным числом. Это означает, что $a$ должно быть натуральным делителем числа $18$.

Найдем все натуральные делители числа 18. Это все натуральные числа, на которые 18 делится без остатка.

Перечислим их:
1, так как $18 \div 1 = 18$
2, так как $18 \div 2 = 9$
3, так как $18 \div 3 = 6$
6, так как $18 \div 6 = 3$
9, так как $18 \div 9 = 2$
18, так как $18 \div 18 = 1$

Следовательно, искомые натуральные значения $a$ — это все натуральные делители числа 18.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

5. Укажите все целые значения p, при которых корень уравнения $px = -4$ является целым числом.

Дано уравнение $px = -4$. Требуется найти все целые значения параметра $p$, при которых корень уравнения $x$ также является целым числом.

Для того чтобы найти корень уравнения, необходимо выразить $x$. Сначала рассмотрим случай, когда $p = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -4$, то есть $0 = -4$. Это неверное равенство, следовательно, при $p=0$ уравнение не имеет корней. Значит, $p \neq 0$.

При $p \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $p$: $x = \frac{-4}{p}$

По условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом. Это означает, что результат деления $-4$ на $p$ должен быть целым числом. Такое возможно только в том случае, если целое число $p$ является делителем числа $-4$.

Найдем все целые делители числа $-4$: Это числа $1, -1, 2, -2, 4, -4$.

Проверим каждое значение:

• Если $p = 1$, то $x = -4/1 = -4$ (целое число).
• Если $p = -1$, то $x = -4/(-1) = 4$ (целое число).
• Если $p = 2$, то $x = -4/2 = -2$ (целое число).
• Если $p = -2$, то $x = -4/(-2) = 2$ (целое число).
• Если $p = 4$, то $x = -4/4 = -1$ (целое число).
• Если $p = -4$, то $x = -4/(-4) = 1$ (целое число).

Следовательно, все целые значения $p$, при которых корень уравнения является целым числом, — это все целые делители числа $-4$.

Ответ: $p \in \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.

17. Составьте выражение для определения площади $S$ закрашенной фигуры, изображённой на рисунке. Представьте это выражение в виде произведения одночлена и многочлена.

a) $S = ab - 2 \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{b}{2} = ab - \frac{b^2}{2} = b(a - \frac{b}{2})$

б) $S = ab - 4 \cdot \frac{b}{3} \cdot \frac{b}{3} = ab - \frac{4b^2}{9} = b(a - \frac{4b}{9})$

а)

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры $S$, нужно из площади большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычесть площади двух незакрашенных квадратов в углах. Согласно рисунку, размеры каждого из этих квадратов — $\frac{b}{2}$ на $\frac{b}{2}$.

Площадь всего прямоугольника равна $S_{общ} = ab$.

Площадь одного вырезанного квадрата равна $S_{вырез} = \frac{b}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{b^2}{4}$.

Так как вырезано два таких квадрата, их общая площадь составляет $2 \cdot \frac{b^2}{4} = \frac{b^2}{2}$.

Следовательно, выражение для площади закрашенной фигуры $S$ имеет вид:

$S = S_{общ} - 2 \cdot S_{вырез} = ab - \frac{b^2}{2}$.

Теперь представим полученное выражение в виде произведения одночлена и многочлена. Для этого вынесем за скобки общий множитель $b$:

$S = b(a - \frac{b}{2})$.

Ответ: $S = b(a - \frac{b}{2})$

б)

Аналогично пункту а), найдем площадь закрашенной фигуры $S$. Из площади большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ необходимо вычесть площади четырех незакрашенных квадратов в углах. Размеры каждого из этих квадратов, согласно рисунку, — $\frac{b}{3}$ на $\frac{b}{3}$.

Площадь всего прямоугольника равна $S_{общ} = ab$.

Площадь одного вырезанного квадрата равна $S_{вырез} = \frac{b}{3} \cdot \frac{b}{3} = \frac{b^2}{9}$.

Так как вырезано четыре таких квадрата, их общая площадь составляет $4 \cdot \frac{b^2}{9} = \frac{4b^2}{9}$.

Следовательно, выражение для площади закрашенной фигуры $S$ имеет вид:

$S = S_{общ} - 4 \cdot S_{вырез} = ab - \frac{4b^2}{9}$.

Теперь представим полученное выражение в виде произведения одночлена и многочлена, вынеся за скобки общий множитель $b$:

$S = b(a - \frac{4b}{9})$.

Ответ: $S = b(a - \frac{4b}{9})$

1. Закончите выполнение действия:

а) $(a+b)(x+y)=(a+b)x+(a+b)y=$ ................

б) $(m+n)(a-c)=(m+n)a-(m+n)c=$ ................

в) $(x-y)(a-b)=(x-y)a-(x-y)b=$ ................

г) $(-a-d)(m-n)=(-a-d)m-(-a-d)n=$ ................

а) Чтобы закончить выполнение действия, необходимо раскрыть скобки, применив распределительный закон. Сначала умножаем каждый член в скобках $(a+b)$ на $x$, а затем каждый член в скобках $(a+b)$ на $y$.

$(a+b)x + (a+b)y = (a \cdot x + b \cdot x) + (a \cdot y + b \cdot y) = ax + bx + ay + by$

Ответ: $ax + bx + ay + by$

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем распределительный закон. Умножаем $(m+n)$ на $a$, а затем вычитаем произведение $(m+n)$ на $c$.

$(m+n)a - (m+n)c = (m \cdot a + n \cdot a) - (m \cdot c + n \cdot c) = ma + na - mc - nc$

При раскрытии второй скобки знаки слагаемых меняются на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

Ответ: $ma + na - mc - nc$

в) Продолжаем раскрытие скобок по тому же правилу. Умножаем $(x-y)$ на $a$, а затем вычитаем произведение $(x-y)$ на $b$.

$(x-y)a - (x-y)b = (x \cdot a - y \cdot a) - (x \cdot b - y \cdot b) = xa - ya - xb + yb$

Обратите внимание на смену знака при раскрытии второй скобки: $-(-yb)$ превращается в $+yb$.

Ответ: $xa - ya - xb + yb$

г) В последнем примере действуем по тому же алгоритму. Раскрываем скобки, внимательно следя за знаками.

$(-a-d)m - (-a-d)n = ((-a) \cdot m - d \cdot m) - ((-a) \cdot n - d \cdot n) = (-am - dm) - (-an - dn)$

Теперь раскрываем вторые скобки, перед которыми стоит знак минус, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$-am - dm + an + dn$

Ответ: $-am - dm + an + dn$