Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

6. В фермерском хозяйстве было засеяно 15 га земли пшеницей, рожью и кукурузой, причём рожью было засеяно на 1 га больше, чем кукурузой, а пшеницей — в 4 раза больше, чем рожью и кукурузой вместе. Сколько гектаров земли было засеяно каждой из этих культур?

Решение.

Пусть $x$ га — площадь, засеянная кукурузой, тогда

площадь, засеянная рожью, равна ..........................; площадь, засеянная кукурузой и рожью вместе, равна ..........................; площадь, засеянная пшеницей, равна .......................... . Составим уравнение и решим его.

Решение.

Следуя указаниям в задаче, введем переменную. Пусть $x$ га — это площадь, засеянная кукурузой.

Из условия известно, что рожью было засеяно на 1 га больше, чем кукурузой. Следовательно, площадь, засеянная рожью, равна $x + 1$ га.

Найдем общую площадь, засеянную рожью и кукурузой вместе. Для этого сложим их площади: $x + (x + 1) = 2x + 1$ га.

Также по условию, пшеницей засеяли площадь в 4 раза большую, чем рожью и кукурузой вместе. Значит, площадь, засеянная пшеницей, равна $4 \cdot (2x + 1)$ га.

Общая площадь всех засеянных земель составляет 15 га. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму площадей всех трех культур к 15 га:

(площадь под кукурузой) + (площадь под рожью) + (площадь под пшеницей) = 15

$x + (x + 1) + 4(2x + 1) = 15$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + x + 1 + 8x + 4 = 15$

$10x + 5 = 15$

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$10x = 15 - 5$

$10x = 10$

$x = \frac{10}{10}$

$x = 1$

Мы нашли, что площадь, засеянная кукурузой, равна 1 га.

Теперь вычислим площади для остальных культур:

• Площадь, засеянная рожью: $x + 1 = 1 + 1 = 2$ га.
• Площадь, засеянная пшеницей: $4 \cdot (2x + 1) = 4 \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 4 \cdot (3) = 12$ га.

Для проверки сложим полученные площади: $1 \text{ га (кукуруза)} + 2 \text{ га (рожь)} + 12 \text{ га (пшеница)} = 15$ га. Сумма совпадает с общим значением из условия задачи.

Ответ: было засеяно 1 гектар кукурузой, 2 гектара рожью и 12 гектаров пшеницей.

1. Заключите в скобки два последних члена выражения и вынесите общий множитель за скобки:

$5c(x - y) - x + y = 5c(x - y) - (x - y) = (x - y)(5c - 1)$

а) $3x(a + b) + a + b = $

б) $2a(m - n) - m + n = $

в) $4y(c + d) - c - d = $

а) Исходное выражение: $3x(a+b) + a + b$.
Согласно заданию, необходимо заключить в скобки два последних члена выражения. Последние два члена — это $+a$ и $+b$. Так как перед ними стоит знак плюс, мы можем просто поставить скобки:
$3x(a+b) + (a+b)$
Теперь мы видим, что выражение состоит из двух слагаемых: $3x(a+b)$ и $(a+b)$. У них есть общий множитель $(a+b)$. Вынесем его за скобки. Второе слагаемое $(a+b)$ можно представить как $1 \cdot (a+b)$.
$3x(a+b) + 1 \cdot (a+b) = (a+b)(3x+1)$
Ответ: $(a+b)(3x+1)$

б) Исходное выражение: $2a(m-n) - m + n$.
Заключим в скобки два последних члена: $-m$ и $+n$. Чтобы в скобках получилось выражение $(m-n)$, такое же, как в первом слагаемом, нужно вынести за скобку знак минус (число $-1$). При вынесении минуса за скобку знаки членов внутри скобок меняются на противоположные:
$-m+n = -(m-n)$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$2a(m-n) - (m-n)$
Общим множителем является $(m-n)$. Вынесем его за скобки. Выражение $(m-n)$ во второй части можно представить как $1 \cdot (m-n)$.
$2a(m-n) - 1 \cdot (m-n) = (m-n)(2a-1)$
Ответ: $(m-n)(2a-1)$

в) Исходное выражение: $4y(c+d) - c - d$.
Заключим в скобки два последних члена: $-c$ и $-d$. Для этого вынесем за скобку знак минус (число $-1$):
$-c-d = -(c+d)$
Подставим полученное выражение в исходное:
$4y(c+d) - (c+d)$
Теперь у нас есть общий множитель $(c+d)$. Вынесем его за скобки, представив вторую часть $- (c+d)$ как $-1 \cdot (c+d)$.
$4y(c+d) - 1 \cdot (c+d) = (c+d)(4y-1)$
Ответ: $(c+d)(4y-1)$

2. Представьте выражение в виде произведения:

a) $x(a-c)-ay+cy=$

б) $a(x-y)+by-bx=$

в) $c(m+n)-dm-dn=$

а) $x(a-c) - ay + cy$

Для того чтобы представить выражение в виде произведения, применим метод группировки. Сгруппируем последние два слагаемых $(-ay + cy)$ и вынесем за скобки общий множитель. В данном случае, можно вынести $-y$.

$x(a-c) - ay + cy = x(a-c) - (ay - cy) = x(a-c) - y(a-c)$

Теперь мы видим, что у обоих членов $x(a-c)$ и $y(a-c)$ есть общий множитель $(a-c)$. Вынесем его за скобки:

$(a-c)(x-y)$

Ответ: $(a-c)(x-y)$

б) $a(x-y) + by - bx$

Сначала сгруппируем последние два слагаемых $(by - bx)$. Вынесем за скобки общий множитель $-b$. Это позволит получить в скобках выражение $(x-y)$, которое совпадает с множителем в первом слагаемом.

$a(x-y) + by - bx = a(x-y) - (bx - by) = a(x-y) - b(x-y)$

Теперь, когда у нас есть общий множитель $(x-y)$ в обоих членах, мы можем вынести его за скобки:

$(x-y)(a-b)$

Ответ: $(x-y)(a-b)$

в) $c(m+n) - dm - dn$

Сгруппируем последние два слагаемых $(-dm - dn)$. Их общий множитель $-d$. Вынесем его за скобки.

$c(m+n) - dm - dn = c(m+n) - (dm + dn) = c(m+n) - d(m+n)$

Мы получили выражение, в котором оба члена имеют общий множитель $(m+n)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(m+n)(c-d)$

Ответ: $(m+n)(c-d)$

3. Разложите многочлен на множители способом группировки и проверьте результат умножением:

a) $ax - ay + 3x - 3y = $

б) $2a + 2b - ax - bx = $

в) $mn - m + n^2 - n = $

а) $ax - ay + 3x - 3y$

Для разложения многочлена на множители сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:

$(ax - ay) + (3x - 3y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй группе — общий множитель $3$:

$a(x - y) + 3(x - y)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$(x - y)(a + 3)$

Теперь выполним проверку, умножив полученные множители:

$(x - y)(a + 3) = x \cdot a + x \cdot 3 - y \cdot a - y \cdot 3 = ax + 3x - ay - 3y$

Переставив члены, получаем исходный многочлен: $ax - ay + 3x - 3y$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(x - y)(a + 3)$

б) $2a + 2b - ax - bx$

Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:

$(2a + 2b) + (-ax - bx)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2$, а во второй группе — общий множитель $-x$:

$2(a + b) - x(a + b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + b)$:

$(a + b)(2 - x)$

Выполним проверку умножением:

$(a + b)(2 - x) = a \cdot 2 + a \cdot (-x) + b \cdot 2 + b \cdot (-x) = 2a - ax + 2b - bx$

Переставив члены, получаем исходный многочлен: $2a + 2b - ax - bx$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(a + b)(2 - x)$

в) $mn - m + n^2 - n$

Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:

$(mn - m) + (n^2 - n)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй группе — общий множитель $n$:

$m(n - 1) + n(n - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(n - 1)$:

$(n - 1)(m + n)$

Выполним проверку умножением:

$(n - 1)(m + n) = n \cdot m + n \cdot n - 1 \cdot m - 1 \cdot n = mn + n^2 - m - n$

Переставив члены, получаем исходный многочлен: $mn - m + n^2 - n$. Разложение выполнено верно.

Ответ: $(n - 1)(m + n)$