Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Расстояние от посёлка до станции, равное 39 км, велосипедист проехал за 2 ч 30 мин. В течение первых двух часов он ехал с постоянной скоростью, а затем увеличил её на 20%. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Пусть первоначальная скорость велосипедиста равна $v$ км/ч.

Общее расстояние составляет 39 км, а общее время в пути — 2 часа 30 минут. Переведем общее время в часы для удобства расчетов:

$2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 2 + 0.5 \text{ ч} = 2.5 \text{ часа}$.

Весь путь можно разделить на два этапа.

На первом этапе, который длился 2 часа, велосипедист ехал со скоростью $v$. Расстояние, пройденное за это время, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:

$S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

На втором этапе оставшееся время движения составляет:

$t_2 = 2.5 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 0.5$ часа.

На этом этапе велосипедист увеличил свою скорость на 20%. Новая скорость стала:

$v_2 = v + 0.20 \cdot v = 1.2v$ км/ч.

Расстояние, которое он проехал на втором этапе:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = (1.2v) \cdot 0.5 = 0.6v$ км.

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных на первом и втором этапах. Составим уравнение, зная, что общее расстояние равно 39 км:

$S_1 + S_2 = 39$

$2v + 0.6v = 39$

Теперь решим это линейное уравнение:

$2.6v = 39$

$v = \frac{39}{2.6}$

Для удобства деления умножим числитель и знаменатель на 10:

$v = \frac{390}{26}$

$v = 15$

Таким образом, первоначальная скорость велосипедиста составляла 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

13. С трёх участков собрали 456 кг картофеля. Со второго участка собрали на 16% меньше, чем с первого, а с третьего — на 96 кг меньше, чем с первых двух. Сколько картофеля собрали с каждого участка?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ кг — это количество картофеля, которое собрали с первого участка.

Согласно условию, со второго участка собрали на 16% меньше, чем с первого. Это означает, что со второго участка собрали $100\% - 16\% = 84\%$ от количества с первого участка. Выразим это в виде математической формулы:

$x - 0.16x = 0.84x$ кг картофеля собрали со второго участка.

С третьего участка собрали на 96 кг меньше, чем с первых двух участков вместе. Сначала найдём, сколько собрали с первых двух участков:

$x + 0.84x = 1.84x$ кг.

Теперь найдём, сколько собрали с третьего участка:

$(1.84x - 96)$ кг.

Общее количество картофеля, собранного с трёх участков, составляет 456 кг. Мы можем составить уравнение, сложив количество картофеля с каждого участка:

$x + 0.84x + (1.84x - 96) = 456$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Сначала сложим все члены, содержащие $x$, и перенесём -96 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$(1 + 0.84 + 1.84)x = 456 + 96$

$3.68x = 552$

Найдём $x$, разделив 552 на 3.68:

$x = \frac{552}{3.68} = 150$

Итак, с первого участка собрали 150 кг картофеля.

Теперь, зная $x$, мы можем найти количество картофеля, собранного с двух других участков:

• Со второго участка: $0.84x = 0.84 \cdot 150 = 126$ кг.

• С третьего участка: $(1.84x - 96) = 1.84 \cdot 150 - 96 = 276 - 96 = 180$ кг.

Проверим, совпадает ли сумма с общим количеством: $150 + 126 + 180 = 456$ кг. Все верно.

Ответ: с первого участка собрали 150 кг картофеля, со второго — 126 кг, а с третьего — 180 кг.

13. Разложите многочлен на множители:

a) $y^{n+2} - 3y^n + y^2 - 3 = $

б) $bx^{n-1} + 5x^n - ab - 5ax = $

а) $y^{n+2} - 3y^n + y^2 - 3$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(y^{n+2} - 3y^n) + (y^2 - 3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $y^n$. Для этого воспользуемся свойством степеней: $y^{n+2} = y^n \cdot y^2$.

$y^n(y^2 - 3) + 1(y^2 - 3)$

Теперь мы видим, что выражение $(y^2 - 3)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(y^n + 1)(y^2 - 3)$

Ответ: $(y^n + 1)(y^2 - 3)$

б) $bx^{n-1} + 5x^n - ab - 5ax$

Для разложения этого многочлена также применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(bx^{n-1} + 5x^n) - (ab + 5ax)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^{n-1}$, помня, что $x^n = x^{n-1} \cdot x$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $a$.

$x^{n-1}(b + 5x) - a(b + 5x)$

Теперь общим множителем является все выражение в скобках $(b + 5x)$. Вынесем его за скобки:

$(b + 5x)(x^{n-1} - a)$

Альтернативный способ группировки: сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

$(bx^{n-1} - ab) + (5x^n - 5ax) = b(x^{n-1} - a) + 5x(x^{n-1} - a) = (b + 5x)(x^{n-1} - a)$

Результат тот же.

Ответ: $(b + 5x)(x^{n-1} - a)$

14. Представьте трёхчлен в виде произведения двух двучленов, заменив предварительно его средний член суммой или разностью одночленов:

$c^2 + 5c - 24 = c^2 + 8c - 3c - 24 = c(c+8) - 3(c+8) = (c+8)(c-3)$

а) $a^2 + 9a + 20 = a^2 + 5a + 4a + 20 = $

б) $x^2 - 7x + 10 = $

в) $y^2 + 3y - 4 = $

а) $a^2 + 9a + 20$

Для разложения данного трёхчлена на множители необходимо представить средний член $9a$ в виде суммы двух одночленов. Искомые коэффициенты должны в сумме давать 9, а в произведении 20. Этими числами являются 4 и 5, так как $4 + 5 = 9$ и $4 \cdot 5 = 20$.

Следуя примеру, данному в задании, продолжим предложенное разложение:

$a^2 + 5a + 4a + 20 = (a^2 + 5a) + (4a + 20)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из двух групп:

$a(a + 5) + 4(a + 5)$

Наконец, вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(a + 5)$ за скобки:

$(a + 5)(a + 4)$

Ответ: $(a + 5)(a + 4)$.

б) $x^2 - 7x + 10$

Представим средний член $-7x$ в виде суммы. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна -7, а произведение — 10. Поскольку сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа должны быть отрицательными. Это числа -2 и -5, так как $(-2) + (-5) = -7$ и $(-2) \cdot (-5) = 10$.

Заменим $-7x$ на $-2x - 5x$ и выполним разложение на множители методом группировки:

$x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10 = (x^2 - 2x) + (-5x + 10) = x(x - 2) - 5(x - 2) = (x - 2)(x - 5)$

Ответ: $(x - 2)(x - 5)$.

в) $y^2 + 3y - 4$

Представим средний член $3y$ в виде суммы. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 3, а произведение — -4. Поскольку произведение отрицательно, числа имеют разные знаки. Поскольку сумма положительна, положительное число имеет больший модуль. Это числа 4 и -1, так как $4 + (-1) = 3$ и $4 \cdot (-1) = -4$.

Заменим $3y$ на $4y - y$ и выполним разложение на множители методом группировки:

$y^2 + 3y - 4 = y^2 + 4y - y - 4 = (y^2 + 4y) + (-y - 4) = y(y + 4) - 1(y + 4) = (y + 4)(y - 1)$

Ответ: $(y + 4)(y - 1)$.

15. Разложите многочлен на множители:

a) $mn^2 - mp + n^3 - np - cn^2 + cp = \dots$

б) $ax^2 + bx^2 - bx - ax + cx^2 - cx = \dots$

а) Чтобы разложить данный многочлен на множители, применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки общий множитель, и чтобы после этого в скобках получились одинаковые выражения.

Исходный многочлен: $mn^2 - mp + n^3 - np - cn^2 + cp$

Сгруппируем слагаемые по три: $(mn^2 - mp)$, $(n^3 - np)$ и $(-cn^2 + cp)$. Обратите внимание на знак в последней группе, чтобы получить в скобках то же выражение, что и в остальных.

$(mn^2 - mp) + (n^3 - np) - (cn^2 - cp)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:

$m(n^2 - p) + n(n^2 - p) - c(n^2 - p)$

Мы видим, что у всех трех получившихся слагаемых есть общий множитель — выражение в скобках $(n^2 - p)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(n^2 - p)(m + n - c)$

Таким образом, мы разложили многочлен на два множителя.

Ответ: $(n^2 - p)(m + n - c)$

б) Для разложения многочлена $ax^2 + bx^2 - bx - ax + cx^2 - cx$ на множители также используем метод группировки. Здесь удобно сгруппировать члены с одинаковыми степенями переменной $x$.

Сначала сгруппируем все члены, содержащие $x^2$, а затем все члены, содержащие $x$ в первой степени:

$(ax^2 + bx^2 + cx^2) + (-ax - bx - cx)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе это $x^2$, во второй — $(-x)$:

$x^2(a + b + c) - x(a + b + c)$

Теперь у получившихся двух слагаемых есть общий множитель $x(a + b + c)$. Вынесем его за скобки:

$x(a + b + c)(x - 1)$

Разложение на множители завершено.

Ответ: $x(x - 1)(a + b + c)$