Страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

2. Для ряда данных 17, 15, 21, 38, 22, 43, 17, 19, 20 найдите:

a) среднее арифметическое;

б) размах;

в) моду.

а) среднее арифметическое;

Среднее арифметическое ряда данных вычисляется как отношение суммы всех элементов ряда к их количеству.
Заданный ряд данных: 17, 15, 21, 38, 22, 43, 17, 19, 20.
1. Найдем сумму всех элементов ряда ($S$):
$S = 17 + 15 + 21 + 38 + 22 + 43 + 17 + 19 + 20 = 212$
2. Определим количество элементов в ряду ($n$). В данном ряду 9 элементов.
3. Вычислим среднее арифметическое ($M$):
$M = \frac{S}{n} = \frac{212}{9} = 23\frac{5}{9}$
Ответ: $23\frac{5}{9}$.

б) размах;

Размах ряда данных — это разность между его наибольшим и наименьшим элементами.
1. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений упорядочим ряд по возрастанию: 15, 17, 17, 19, 20, 21, 22, 38, 43.
2. Найдем наибольший ($max$) и наименьший ($min$) элементы ряда:
$max = 43$
$min = 15$
3. Вычислим размах ($R$):
$R = max - min = 43 - 15 = 28$
Ответ: 28.

в) моду.

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто.
Рассмотрим исходный ряд: 17, 15, 21, 38, 22, 43, 17, 19, 20.
1. Проанализируем частоту появления каждого числа в ряду.
Число 17 встречается 2 раза.
Все остальные числа (15, 19, 20, 21, 22, 38, 43) встречаются по 1 разу.
2. Поскольку число 17 встречается чаще других, оно и является модой данного ряда.
Ответ: 17.

3. В таблице показано, сколько времени затратил Антон на просмотр телепередач в разные дни определённой недели.

День недели: пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс

Время, мин: 75, 30, 120, 40, 35, 150, 180

Какова наибольшая затрата времени и на какой день недели она приходится?

Какова наименьшая затрата времени и на какой день недели она приходится?

Каков размах ряда данных?

Сколько времени в день в среднем затрачивал на этой неделе Антон на просмотр телепередач?

Какова наибольшая затрата времени и на какой день недели она приходится?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти максимальное значение в ряду данных о времени, затраченном на просмотр телепередач: 75, 30, 120, 40, 35, 150, 180 минут. Сравнивая эти числа, мы видим, что самое большое значение — 180. Согласно таблице, это время было затрачено в воскресенье (вс).
Ответ: Наибольшая затрата времени составляет 180 минут и приходится на воскресенье.

Какова наименьшая затрата времени и на какой день недели она приходится?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти минимальное значение в том же ряду данных: 75, 30, 120, 40, 35, 150, 180 минут. Сравнивая эти числа, мы видим, что самое маленькое значение — 30. Согласно таблице, это время было затрачено во вторник (вт).
Ответ: Наименьшая затрата времени составляет 30 минут и приходится на вторник.

Каков размах ряда данных?

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Мы уже определили, что наибольшее значение равно 180 минут, а наименьшее — 30 минут. Вычислим размах:
$180 - 30 = 150$
Ответ: Размах ряда данных составляет 150 минут.

Сколько времени в день в среднем затрачивал на этой неделе Антон на просмотр телепередач?

Чтобы найти среднее время, нужно сложить все затраты времени за неделю и разделить полученную сумму на количество дней (в данном случае, 7).
1. Найдем общую сумму времени:
$75 + 30 + 120 + 40 + 35 + 150 + 180 = 630$ минут.
2. Теперь разделим эту сумму на количество дней:
$\\frac{630}{7} = 90$ минут.
Ответ: В среднем Антон затрачивал 90 минут в день на просмотр телепередач.

4. В телевизионном шоу «Ледниковый период» судьи поставили паре участников следующие оценки: за технику: 5,8; 5,9; 5,7; 5,9; 5,9; за артистизм: 5,9; 6,0; 5,8; 5,9; 5,9. Для каждого ряда данных вычислите с точностью до сотых средний балл.

Укажите, какую статистическую характеристику вы использовали:

За технику:
Чтобы вычислить средний балл за технику, необходимо найти среднее арифметическое всех оценок. Для этого мы складываем все оценки и делим полученную сумму на их количество.
Дан ряд оценок: 5,8; 5,9; 5,7; 5,9; 5,9.
Всего оценок: 5.
1. Находим сумму всех оценок:
$S_1 = 5,8 + 5,9 + 5,7 + 5,9 + 5,9 = 29,2$
2. Делим сумму на количество оценок, чтобы найти средний балл:
$Средний\ балл_1 = \frac{S_1}{n} = \frac{29,2}{5} = 5,84$
Результат уже имеет точность до сотых.
Ответ: 5,84.

За артистизм:
Аналогично вычисляем средний балл за артистизм.
Дан ряд оценок: 5,9; 6,0; 5,8; 5,9; 5,9.
Всего оценок: 5.
1. Находим сумму всех оценок:
$S_2 = 5,9 + 6,0 + 5,8 + 5,9 + 5,9 = 29,5$
2. Делим сумму на количество оценок:
$Средний\ балл_2 = \frac{S_2}{n} = \frac{29,5}{5} = 5,9$
Согласно условию, ответ нужно дать с точностью до сотых, поэтому представляем 5,9 в виде 5,90.
Ответ: 5,90.

Укажите, какую статистическую характеристику вы использовали:
Для вычисления "среднего балла" для каждого ряда данных была использована такая статистическая характеристика, как среднее арифметическое. Среднее арифметическое — это частное от деления суммы всех чисел ряда на их количество.
Ответ: среднее арифметическое.

3. Упростите выражение:

а) $ (a + 2b)^2 - 3ab = $

б) $ (5x - y)^2 + 10xy = $

в) $ (-0,5c + d)^2 + cd = $

г) $ (-x - y)^2 - 2xy = $

а) Для упрощения выражения $(a + 2b)^2 - 3ab$ необходимо сначала раскрыть скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Применим эту формулу к выражению $(a + 2b)^2$, где $x=a$ и $y=2b$:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(a^2 + 4ab + 4b^2) - 3ab$.

Далее приведем подобные слагаемые, то есть сложим или вычтем члены с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $4ab$ и $-3ab$:

$a^2 + (4ab - 3ab) + 4b^2 = a^2 + ab + 4b^2$.

Ответ: $a^2 + ab + 4b^2$.

б) Для упрощения выражения $(5x - y)^2 + 10xy$ необходимо сначала раскрыть скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Применим эту формулу к выражению $(5x - y)^2$, где $x=5x$ и $y=y$:

$(5x - y)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot y + y^2 = 25x^2 - 10xy + y^2$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(25x^2 - 10xy + y^2) + 10xy$.

Далее приведем подобные слагаемые. В данном случае это $-10xy$ и $10xy$:

$25x^2 + (-10xy + 10xy) + y^2 = 25x^2 + 0 + y^2 = 25x^2 + y^2$.

Ответ: $25x^2 + y^2$.

в) Для упрощения выражения $(-0,5c + d)^2 + cd$ необходимо сначала раскрыть скобки, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Применим эту формулу к выражению $(-0,5c + d)^2$, где $x=-0,5c$ и $y=d$:

$(-0,5c + d)^2 = (-0,5c)^2 + 2 \cdot (-0,5c) \cdot d + d^2 = 0,25c^2 - cd + d^2$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(0,25c^2 - cd + d^2) + cd$.

Далее приведем подобные слагаемые. В данном случае это $-cd$ и $cd$:

$0,25c^2 + (-cd + cd) + d^2 = 0,25c^2 + 0 + d^2 = 0,25c^2 + d^2$.

Ответ: $0,25c^2 + d^2$.

г) Для упрощения выражения $(-x - y)^2 - 2xy$ сначала преобразуем выражение в скобках. Вынесем общий множитель $-1$:

$(-x - y) = -(x + y)$.

Тогда квадрат этого выражения будет равен:

$(-x - y)^2 = (-(x + y))^2 = (-1)^2 \cdot (x + y)^2 = (x + y)^2$.

Теперь используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(x^2 + 2xy + y^2) - 2xy$.

Далее приведем подобные слагаемые. В данном случае это $2xy$ и $-2xy$:

$x^2 + (2xy - 2xy) + y^2 = x^2 + 0 + y^2 = x^2 + y^2$.

Ответ: $x^2 + y^2$.

4. Не вычисляя значения выражения, сравните его с единицей:

а) $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} \square 1;$

б) $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2} \square 1.$

a)

Чтобы сравнить выражение $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}$ с единицей, не выполняя вычислений, воспользуемся алгебраическими преобразованиями.
Введем переменные для удобства: пусть $a = 276$ и $b = 143$. Так как оба числа положительны ($a > 0, b > 0$), их произведение также будет положительным.
Исходное выражение можно записать в виде $\frac{a^2 + b^2}{(a+b)^2}$.
Раскроем знаменатель по формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Тогда наша дробь примет вид: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$.
Сравним числитель и знаменатель этой дроби.
Числитель равен $a^2 + b^2$.
Знаменатель равен $a^2 + b^2 + 2ab$.
Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, слагаемое $2ab$ является положительным числом ($2 \cdot 276 \cdot 143 > 0$).
Следовательно, знаменатель больше числителя: $a^2 + 2ab + b^2 > a^2 + b^2$.
В дроби с положительным числителем и положительным знаменателем, если числитель меньше знаменателя, то значение дроби меньше 1.
Таким образом, $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} < 1$.
Ответ: $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} < 1$.

б)

Сравним выражение $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2}$ с единицей.
Введем переменные: пусть $a = 4,17$ и $b = 3,94$. Оба числа положительны ($a > 0, b > 0$) и $a \neq b$.
Выражение можно представить как $\frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2}$.
Раскроем числитель по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Тогда наша дробь примет вид: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2}$.
Сравним числитель и знаменатель.
Числитель: $a^2 - 2ab + b^2$.
Знаменатель: $a^2 + b^2$.
Так как $a$ и $b$ — положительные числа, слагаемое $2ab$ также положительно.
В числителе из суммы $a^2 + b^2$ вычитается положительное число $2ab$, а в знаменателе стоит сама сумма $a^2 + b^2$.
Следовательно, числитель меньше знаменателя: $a^2 - 2ab + b^2 < a^2 + b^2$.
Числитель $(a-b)^2$ положителен, так как $a \neq b$. Знаменатель $a^2 + b^2$ также является положительным числом (сумма квадратов положительных чисел).
В дроби с положительным числителем и положительным знаменателем, если числитель меньше знаменателя, то значение дроби меньше 1.
Таким образом, $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2} < 1$.
Ответ: $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2} < 1$.

5. Выясните, зависит ли от p значение выражения:

a) $ (p+8)^2 - (p+2)(p+14)= $ ......................

..............

..............

б) $ (p-7)^2 - (6-p)(8-p)= $ ......................

Чтобы выяснить, зависит ли значение выражения от переменной $p$, необходимо упростить каждое выражение и посмотреть, останется ли в итоговом результате переменная $p$.

а) $(p + 8)^2 - (p + 2)(p + 14)$

Сначала раскроем скобки. Для $(p + 8)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для $(p + 2)(p + 14)$ используем правило умножения многочленов ("фонтанчик").

$(p + 8)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 8 + 8^2 = p^2 + 16p + 64$

$(p + 2)(p + 14) = p \cdot p + p \cdot 14 + 2 \cdot p + 2 \cdot 14 = p^2 + 14p + 2p + 28 = p^2 + 16p + 28$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(p^2 + 16p + 64) - (p^2 + 16p + 28)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит минус:

$p^2 + 16p + 64 - p^2 - 16p - 28$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - p^2) + (16p - 16p) + (64 - 28) = 0 + 0 + 36 = 36$

В результате упрощения получилось число 36. Это константа, и она не содержит переменную $p$. Следовательно, значение выражения не зависит от $p$.

Ответ: значение выражения не зависит от $p$ и равно 36.

б) $(p - 7)^2 - (6 - p)(8 - p)$

Упростим это выражение аналогичным образом. Для $(p - 7)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для $(6 - p)(8 - p)$ используем правило умножения многочленов.

$(p - 7)^2 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 7 + 7^2 = p^2 - 14p + 49$

$(6 - p)(8 - p) = 6 \cdot 8 + 6 \cdot (-p) - p \cdot 8 + (-p) \cdot (-p) = 48 - 6p - 8p + p^2 = p^2 - 14p + 48$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(p^2 - 14p + 49) - (p^2 - 14p + 48)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$p^2 - 14p + 49 - p^2 + 14p - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - p^2) + (-14p + 14p) + (49 - 48) = 0 + 0 + 1 = 1$

После упрощения получилось число 1. Переменная $p$ сократилась, значит, значение выражения не зависит от $p$.

Ответ: значение выражения не зависит от $p$ и равно 1.