Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

7. Ниже указана продолжительность (в днях) начинающихся в Москве круизов по рекам России, которые были намечены компанией «Турфлот» на 2010 г.: 12, 10, 3, 4, 4, 4, 8, 4, 3, 8, 7, 9, 9, 7, 19, 9, 6, 6. Представьте данные в виде упорядоченного ряда:

3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 12, 19

Укажите:

а) наибольшую продолжительность круиза:

б) наименьшую продолжительность круиза:

в) размах ряда:

г) моду ряда:

д) медиану ряда:

Сначала представим исходные данные в виде упорядоченного (ранжированного) ряда, для этого расположим все числа в порядке возрастания.
Исходный ряд данных: 12, 10, 3, 4, 4, 4, 8, 4, 3, 8, 7, 9, 9, 7, 19, 9, 6, 6.
Упорядоченный ряд: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 12, 19.

а) наибольшую продолжительность круиза:
Наибольшая продолжительность — это максимальное значение в ряду данных. В упорядоченном ряду это последний элемент.
Ответ: 19.

б) наименьшую продолжительность круиза:
Наименьшая продолжительность — это минимальное значение в ряду данных. В упорядоченном ряду это первый элемент.
Ответ: 3.

в) размах ряда:
Размах ряда вычисляется как разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
Размах = (наибольшее значение) - (наименьшее значение).
$19 - 3 = 16$.
Ответ: 16.

г) моду ряда:
Мода — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. Подсчитаем частоту каждого значения в ряду:
3 — 2 раза;
4 — 4 раза;
6 — 2 раза;
7 — 2 раза;
8 — 2 раза;
9 — 3 раза;
10, 12, 19 — по 1 разу.
Число 4 встречается чаще всех (4 раза), следовательно, оно является модой данного ряда.
Ответ: 4.

д) медиану ряда:
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам. В ряду 18 элементов (четное число), поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов: $18 / 2 = 9$-й и $18 / 2 + 1 = 10$-й.
Найдем эти элементы в упорядоченном ряду: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 12, 19.
Девятый элемент равен 7, десятый элемент также равен 7.
Вычисляем медиану как их среднее арифметическое: $M_e = \frac{7 + 7}{2} = 7$.
Ответ: 7.

8. Учащихся класса попросили отметить время (с точностью до $0,5$ ч), затраченное в течение недели на работу с компьютером. Получили такой ряд данных:

$3, 0, 2,5, 4, 3,5, 0, 0, 4,5, 5, 1,5, 2,5, 2,$

$3, 4, 4, 5, 3, 3,5, 2,5, 2,5, 4, 4,5, 0.$

Представьте данные в виде упорядоченного ряда:

$0, 0, 0, 0, 1,5,$

......................

Укажите среднее арифметическое, размах, моду и медиану ряда.

Среднее арифметическое равно ..................

Размах ряда равен .......................

Представьте данные в виде упорядоченного ряда:

Для составления упорядоченного ряда необходимо расположить все элементы исходного набора данных (3; 0; 2,5; 4; 3,5; 0; 0; 4,5; 5; 1,5; 2,5; 2; 3; 4; 4; 5; 3; 3,5; 2,5; 2,5; 4; 4,5; 0) в порядке возрастания.

Ответ: 0; 0; 0; 0; 1,5; 2; 2,5; 2,5; 2,5; 2,5; 3; 3; 3; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4,5; 4,5; 5; 5.

Среднее арифметическое равно

Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех элементов ряда, деленная на их количество. В данном ряду 23 элемента.
Сумма элементов: $S = 4 \cdot 0 + 1,5 + 2 + 4 \cdot 2,5 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3,5 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 4,5 + 2 \cdot 5 = 0 + 1,5 + 2 + 10 + 9 + 7 + 16 + 9 + 10 = 64,5$.
Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{64,5}{23} \approx 2,8$.

Ответ: 2,8.

Размах ряда равен

Размах ряда — это разность между его максимальным и минимальным значениями.
Максимальное значение: 5.
Минимальное значение: 0.
Размах: $5 - 0 = 5$.

Ответ: 5.

Мода ряда равна

Мода — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. В данном ряду числа 0, 2,5 и 4 встречаются по 4 раза каждое, что является наибольшей частотой. Следовательно, у этого ряда три моды.

Ответ: 0; 2,5; 4.

Медиана ряда равна

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда. Поскольку в ряду 23 элемента (нечетное число), медиана — это элемент с номером $\frac{n+1}{2}$.
Номер медианного элемента: $\frac{23+1}{2} = 12$.
В упорядоченном ряду 12-м элементом является число 3.

Ответ: 3.

3. Найдите значение трёхчлена, представив его в виде квадрата двучлена:

a) $9m^2 - 102m + 289$ при $m=19$;

б) $144p^2 + 49 - 168p$ при $p=0,6$.

а)

Чтобы найти значение трёхчлена $9m^2 - 102m + 289$, представим его в виде квадрата двучлена. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим, чему равны $a$ и $b$ в нашем выражении:
Первый член $9m^2$ можно представить как $(3m)^2$, значит, $a = 3m$.
Третий член $289$ можно представить как $17^2$, значит, $b = 17$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-102m$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (3m) \cdot 17 = -6m \cdot 17 = -102m$.

Поскольку все условия выполняются, мы можем записать трёхчлен в виде квадрата двучлена:
$9m^2 - 102m + 289 = (3m - 17)^2$.

Теперь подставим заданное значение $m=19$ в полученное выражение и вычислим его значение:
$(3 \cdot 19 - 17)^2 = (57 - 17)^2 = 40^2 = 1600$.

Ответ: 1600.

б)

Чтобы найти значение выражения $144p^2 + 49 - 168p$, сначала переставим члены, чтобы получить стандартный вид трёхчлена: $144p^2 - 168p + 49$.

Снова воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
$a^2 = 144p^2$, следовательно, $a = \sqrt{144p^2} = 12p$.
$b^2 = 49$, следовательно, $b = \sqrt{49} = 7$.

Проверим средний член:
$-2ab = -2 \cdot (12p) \cdot 7 = -24p \cdot 7 = -168p$.

Трёхчлен можно представить в виде квадрата двучлена:
$144p^2 - 168p + 49 = (12p - 7)^2$.

Подставим значение $p = 0,6$ в полученное выражение:
$(12 \cdot 0,6 - 7)^2 = (7,2 - 7)^2 = (0,2)^2 = 0,04$.

Ответ: 0,04.

4. Решите уравнение:

a) $x^2 - 12x + 36 = 0;$

б) $4x^2 - 12x + 9 = 0;$

в) $0.16x^2 + 0.8x + 1 = 0.$

а) $x^2 - 12x + 36 = 0$

Это квадратное уравнение. Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае, $a = x$ и $b = 6$. Проверим средний член: $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 6)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x - 6 = 0$

Отсюда находим $x$:

$x = 6$

Ответ: $6$

б) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

Данное уравнение также можно решить, свернув левую часть по формуле полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 4x^2$, следовательно, $a = 2x$. $b^2 = 9$, следовательно, $b = 3$. Проверка среднего члена: $2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$.

Перепишем уравнение:

$(2x - 3)^2 = 0$

Извлекаем квадратный корень:

$2x - 3 = 0$

Решаем линейное уравнение:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$

в) $0,16x^2 + 0,8x + 1 = 0$

В этом уравнении левая часть представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 0,16x^2$, значит $a = 0,4x$. $b^2 = 1$, значит $b = 1$. Проверка среднего члена: $2 \cdot (0,4x) \cdot 1 = 0,8x$.

Запишем уравнение в свернутом виде:

$(0,4x + 1)^2 = 0$

Извлекаем квадратный корень:

$0,4x + 1 = 0$

Находим $x$:

$0,4x = -1$

$x = \frac{-1}{0,4} = -\frac{10}{4} = -2,5$

Ответ: $-2,5$

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

$-p^8 + 2p^4 - 1 = -(p^8 - 2p^4 + 1) = -(p^4 - 1)^2$

а) $n^4 - 4n^2 + 4 = \text{........................}$

б) $-x^2 - 2x - 1 = \text{........................}$

в) $100b^2 + 4 + 40b = \text{........................}$

г) $1 + 144m^2 - 24m = \text{........................}$

Для решения задачи используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

а) Дан трёхчлен $n^4 - 4n^2 + 4$. Он похож на формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = n^4$, тогда $a = n^2$. Пусть $b^2 = 4$, тогда $b=2$. Теперь проверим, совпадает ли удвоенное произведение $2ab$ со средним членом нашего трёхчлена. $2ab = 2 \cdot n^2 \cdot 2 = 4n^2$. В исходном выражении средний член равен $-4n^2$. Таким образом, мы имеем полное совпадение с формулой квадрата разности: $n^4 - 4n^2 + 4 = (n^2)^2 - 2 \cdot n^2 \cdot 2 + 2^2 = (n^2 - 2)^2$.
Ответ: $(n^2 - 2)^2$.

б) Дан трёхчлен $-x^2 - 2x - 1$. Сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы получить положительный старший член: $-x^2 - 2x - 1 = -(x^2 + 2x + 1)$. Теперь выражение в скобках $x^2 + 2x + 1$ похоже на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$. Пусть $b^2 = 1$, тогда $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$. Он совпадает со средним членом в скобках. Следовательно, $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Возвращая вынесенный минус, получаем: $-(x+1)^2$. Это выражение, противоположное квадрату двучлена.
Ответ: $-(x+1)^2$.

в) Дан трёхчлен $100b^2 + 4 + 40b$. Для удобства расположим члены в стандартном порядке (по убыванию степеней переменной $b$): $100b^2 + 40b + 4$. Это выражение похоже на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = 100b^2$, тогда $a = 10b$. Пусть $b^2 = 4$, тогда $b=2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (10b) \cdot 2 = 40b$. Он совпадает со средним членом нашего выражения. Таким образом, $100b^2 + 40b + 4 = (10b + 2)^2$.
Ответ: $(10b + 2)^2$.

г) Дан трёхчлен $1 + 144m^2 - 24m$. Расположим члены в стандартном порядке: $144m^2 - 24m + 1$. Это выражение похоже на формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = 144m^2$, тогда $a = 12m$. Пусть $b^2 = 1$, тогда $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (12m) \cdot 1 = 24m$. В исходном выражении средний член равен $-24m$. Таким образом, мы имеем полное совпадение с формулой квадрата разности: $144m^2 - 24m + 1 = (12m)^2 - 2 \cdot 12m \cdot 1 + 1^2 = (12m - 1)^2$.
Ответ: $(12m - 1)^2$.