Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Для ряда чисел 31,5, 42,4, 74,6, 18,5, 17,8 найдите указанные статистические характеристики:

а) среднее арифметическое:

б) размах:

в) медиана:

а) среднее арифметическое:

Среднее арифметическое ряда чисел – это результат деления суммы всех чисел в ряду на их количество.

Данный ряд чисел: 31,5; 42,4; 74,6; 18,5; 17,8.

1. Сначала найдем сумму всех чисел ряда:

$31,5 + 42,4 + 74,6 + 18,5 + 17,8 = 184,8$

2. Посчитаем количество чисел в ряду. Всего 5 чисел.

3. Теперь разделим сумму на количество чисел, чтобы найти среднее арифметическое:

$\frac{184,8}{5} = 36,96$

Ответ: 36,96

б) размах:

Размах ряда – это разность между самым большим и самым маленьким числом в этом ряду.

1. Найдем наибольшее число в ряду: 74,6.

2. Найдем наименьшее число в ряду: 17,8.

3. Вычтем из наибольшего числа наименьшее:

$74,6 - 17,8 = 56,8$

Ответ: 56,8

в) медиана:

Медиана – это число, которое находится в середине ряда, упорядоченного по возрастанию (или убыванию).

1. Упорядочим данный ряд чисел по возрастанию:

17,8; 18,5; 31,5; 42,4; 74,6

2. В ряду 5 чисел (нечетное количество). Это значит, что медианой будет число, стоящее ровно посередине.

В упорядоченном ряду центральным элементом является третий по счету. Это число 31,5.

Ответ: 31,5

5. Отмечая данные о расходе семей электроэнергии в каждый из месяцев года, получили такую таблицу:

Месяц Расход электроэнергии, кВт/ч

Январь 195

Февраль 184

Март 178

Апрель 174

Май 157

Июнь 117

Месяц Расход электроэнергии, кВт/ч

Июль 24

Август 107

Сентябрь 172

Октябрь 184

Ноябрь 186

Декабрь 192

Найдите медиану полученного ряда данных.

Составим упорядоченный ряд данных:

..............

Медиана равна

..............

Составим упорядоченный ряд данных:

Для того чтобы найти медиану, необходимо сначала расположить все значения из набора данных в порядке возрастания.
Исходный ряд данных о расходе электроэнергии (кВт/ч): 195, 184, 178, 174, 157, 117, 24, 107, 172, 184, 186, 192.
Расположим эти числа в порядке возрастания (от меньшего к большему):
24, 107, 117, 157, 172, 174, 178, 184, 184, 186, 192, 195.
Ответ: 24, 107, 117, 157, 172, 174, 178, 184, 184, 186, 192, 195.

Медиана равна

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных.
В нашем ряду 12 чисел, то есть четное количество элементов. В таком случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.
В упорядоченном ряду (24, 107, 117, 157, 172, 174, 178, 184, 184, 186, 192, 195) центральными элементами являются 6-й (174) и 7-й (178).
Найдем их среднее арифметическое:
$ \text{Медиана} = \frac{174 + 178}{2} = \frac{352}{2} = 176 $
Ответ: 176.

6. Ниже указана наибольшая протяжённость лыжных трасс (в метрах) на некоторых базах Подмосковья: 450, 350, 700, 860, 1000, 450, 300, 450, 400. Представьте данные в виде упорядоченного ряда:

Укажите, чему равно:

а) наибольшее значение:

б) наименьшее значение:

в) размах:

г) медиана:

Дан ряд чисел, представляющий наибольшую протяжённость лыжных трасс (в метрах): 450, 350, 700, 860, 1000, 450, 300, 450, 400.
Первым шагом для анализа необходимо представить эти данные в виде упорядоченного ряда, то есть расположить числа в порядке возрастания.
Упорядоченный ряд: 300, 350, 400, 450, 450, 450, 700, 860, 1000.

а) наибольшее значение:
Наибольшее значение в упорядоченном ряду — это последнее число.
Ответ: 1000.

б) наименьшее значение:
Наименьшее значение в упорядоченном ряду — это первое число.
Ответ: 300.

в) размах:
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных.
Размах = $1000 - 300 = 700$.
Ответ: 700.

г) медиана:
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Поскольку в нашем ряду 9 элементов (нечетное число), медианой будет число, стоящее ровно посередине.
Упорядоченный ряд: 300, 350, 400, 450, 450, 450, 700, 860, 1000.
Посередине находится пятое по счету число.
Ответ: 450.

1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

$121x^2 + 66x + 9 = (11x)^2 + 2 \cdot 11x \cdot 3 + 3^2 = (11x + 3)^2$

а) $y^2 - 18y + 81 = \ldots$

б) $p^2 - 1,2p + 0,36 = \ldots$

в) $36m^2 + n^2 + 12mn = \ldots$

г) $-12ab + 9a^2 + 4b^2 = \ldots$

а) $y^2 - 18y + 81$

Чтобы представить данный трёхчлен в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. Определим, что в нашем выражении $y^2 - 18y + 81$ может быть $a$ и $b$.
Первый член $y^2$ является квадратом от $y$. Значит, можно предположить, что $a = y$.
Третий член $81$ является квадратом от $9$, так как $9^2 = 81$. Значит, можно предположить, что $b = 9$.
2. Проверим, соответствует ли средний член $-18y$ удвоенному произведению $-2ab$.
Подставим наши значения $a$ и $b$: $-2 \cdot y \cdot 9 = -18y$.
Это в точности совпадает со средним членом нашего трёхчлена.
3. Таким образом, мы можем записать исходный трёхчлен в виде квадрата разности:
$y^2 - 18y + 81 = (y)^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = (y - 9)^2$.

Ответ: $(y - 9)^2$

б) $p^2 - 1,2p + 0,36$

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. В выражении $p^2 - 1,2p + 0,36$ определим $a$ и $b$.
Первый член $p^2$ — это квадрат от $p$. Значит, $a = p$.
Третий член $0,36$ — это квадрат от $0,6$, так как $(0,6)^2 = 0,36$. Значит, $b = 0,6$.
2. Проверим средний член $-1,2p$. Он должен быть равен $-2ab$.
$-2 \cdot p \cdot 0,6 = -1,2p$.
Совпадение полное.
3. Записываем трёхчлен как квадрат разности:
$p^2 - 1,2p + 0,36 = (p)^2 - 2 \cdot p \cdot 0,6 + (0,6)^2 = (p - 0,6)^2$.

Ответ: $(p - 0,6)^2$

в) $36m^2 + n^2 + 12mn$

Сначала для удобства переставим члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы: $36m^2 + 12mn + n^2$.
Здесь мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
1. В выражении $36m^2 + 12mn + n^2$ определим $a$ и $b$.
Первый член $36m^2$ является квадратом от $6m$, так как $(6m)^2 = 36m^2$. Значит, $a = 6m$.
Третий член $n^2$ является квадратом от $n$. Значит, $b = n$.
2. Проверим средний член $12mn$. Он должен быть равен $2ab$.
$2 \cdot (6m) \cdot n = 12mn$.
Средний член совпадает.
3. Записываем результат:
$36m^2 + 12mn + n^2 = (6m)^2 + 2 \cdot (6m) \cdot n + n^2 = (6m + n)^2$.

Ответ: $(6m + n)^2$

г) $-12ab + 9a^2 + 4b^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить стандартный вид трёхчлена: $9a^2 - 12ab + 4b^2$.
Это выражение похоже на квадрат разности, поэтому используем формулу: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
1. В выражении $9a^2 - 12ab + 4b^2$ определим слагаемые для двучлена.
Первый член $9a^2$ является квадратом от $3a$, так как $(3a)^2 = 9a^2$. Значит, $x = 3a$.
Третий член $4b^2$ является квадратом от $2b$, так как $(2b)^2 = 4b^2$. Значит, $y = 2b$.
2. Проверим средний член $-12ab$. Он должен быть равен $-2xy$.
$-2 \cdot (3a) \cdot (2b) = -12ab$.
Средний член совпадает.
3. Записываем трёхчлен как квадрат разности:
$9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = (3a - 2b)^2$.
(Также верным был бы ответ $(2b - 3a)^2$, так как $(x-y)^2 = (y-x)^2$).

Ответ: $(3a - 2b)^2$

2. Подчеркните те из трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата двучлена:

$1 - 4a + 4a^2$, $25 + 10b + b^2$, $16 - a^2 + 8a$, $\frac{1}{9}x^2 + xy + 9y^2$,

$p^2 + 4c^2 - 4pc$, $\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2$, $-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2$.

Чтобы определить, можно ли представить трёхчлен в виде квадрата двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Трёхчлен является полным квадратом, если:

1. Два его члена являются полными квадратами некоторых выражений (например, $A^2$ и $B^2$) и они неотрицательны.
2. Третий член равен удвоенному произведению этих выражений, взятому со знаком плюс или минус ($\pm 2AB$).

Проанализируем каждый из предложенных трёхчленов.

$1 - 4a + 4a^2$

Переставим члены для удобства: $4a^2 - 4a + 1$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $4a^2 = (2a)^2$ $1 = 1^2$ Теперь проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $2a$ и $1$ со знаком минус: $-2 \cdot (2a) \cdot 1 = -4a$. Это совпадает со средним членом трёхчлена. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $1 - 4a + 4a^2 = (1 - 2a)^2$.

$25 + 10b + b^2$

Переставим члены: $b^2 + 10b + 25$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $b^2 = (b)^2$ $25 = 5^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $b$ и $5$ со знаком плюс: $2 \cdot b \cdot 5 = 10b$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

Ответ: Да, можно. $25 + 10b + b^2 = (5 + b)^2$.

$16 - a^2 + 8a$

Переставим члены: $-a^2 + 8a + 16$. В формуле полного квадрата $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$ оба члена, представляющие собой квадраты ($x^2$ и $y^2$), должны быть положительными. В данном трёхчлене присутствует член $-a^2$, который имеет отрицательный знак. Поэтому данный трёхчлен не может быть представлен в виде квадрата двучлена.

Ответ: Нет, нельзя.

$\frac{1}{9}x^2 + xy + 9y^2$

Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $\frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$ $9y^2 = (3y)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $\frac{1}{3}x$ и $3y$ со знаком плюс: $2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (3y) = 2 \cdot x \cdot y = 2xy$. Средний член в заданном трёхчлене равен $xy$, что не совпадает с требуемым значением $2xy$.

Ответ: Нет, нельзя.

$p^2 + 4c^2 - 4pc$

Переставим члены: $p^2 - 4pc + 4c^2$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $p^2 = (p)^2$ $4c^2 = (2c)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $p$ и $2c$ со знаком минус: $-2 \cdot p \cdot (2c) = -4pc$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $p^2 + 4c^2 - 4pc = (p - 2c)^2$.

$\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2$

Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $\frac{1}{36}m^2 = (\frac{1}{6}m)^2$ $9n^2 = (3n)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $\frac{1}{6}m$ и $3n$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{6}m) \cdot (3n) = -2 \cdot \frac{3}{6}mn = -mn$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2 = (\frac{1}{6}m - 3n)^2$.

$-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2$

Переставим члены: $\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$ $4b^2 = (2b)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $\frac{1}{2}a$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b) = -2ab$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2 = (\frac{1}{2}a - 2b)^2$.