Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

11. Среднее арифметическое некоторого ряда данных, состоящего из 32 чисел, равно 15. Из этого ряда вычеркнули число 24. Чему равно среднее арифметическое нового ряда?

Для того чтобы найти среднее арифметическое нового ряда, необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдём сумму всех чисел в исходном ряду

Среднее арифметическое определяется как отношение суммы всех чисел в ряду к их количеству. Формула среднего арифметического: $M = \frac{S}{n}$, где $M$ — среднее арифметическое, $S$ — сумма чисел, $n$ — их количество.

Из условия задачи нам известно, что среднее арифметическое исходного ряда $M_{исх} = 15$, а количество чисел $n_{исх} = 32$. Можем найти сумму чисел исходного ряда ($S_{исх}$):

$S_{исх} = M_{исх} \times n_{исх} = 15 \times 32 = 480$.

Таким образом, сумма 32 чисел исходного ряда равна 480.

2. Определим сумму и количество чисел в новом ряду

По условию, из исходного ряда данных удалили число 24. Следовательно, общая сумма чисел в ряду уменьшилась на 24, а их количество уменьшилось на единицу.

Новая сумма ($S_{нов}$) равна:

$S_{нов} = S_{исх} - 24 = 480 - 24 = 456$.

Новое количество чисел ($n_{нов}$) равно:

$n_{нов} = n_{исх} - 1 = 32 - 1 = 31$.

3. Вычислим среднее арифметическое нового ряда

Теперь, зная новую сумму и новое количество чисел, мы можем рассчитать среднее арифметическое нового ряда ($M_{нов}$):

$M_{нов} = \frac{S_{нов}}{n_{нов}} = \frac{456}{31}$.

При делении 456 на 31 получается нецелое число. Чтобы дать точный ответ, выразим результат в виде смешанной дроби. Выполним деление с остатком:

$456 \div 31 = 14$ (остаток $22$).

Следовательно, среднее арифметическое нового ряда равно $14\frac{22}{31}$.

Ответ: $14\frac{22}{31}$.

12. Среднее арифметическое ряда данных, состоящего из 22 чисел, равно 38. Из этого ряда вычеркнули числа 37 и 22. Найдите среднее арифметическое нового ряда.

Среднее арифметическое ряда чисел — это отношение суммы всех чисел этого ряда к их количеству.

1. Сначала найдем сумму чисел в исходном ряду. Нам известно, что в ряду было 22 числа, и их среднее арифметическое равно 38.
Сумма чисел = Среднее арифметическое × Количество чисел.
Сумма исходного ряда = $38 \cdot 22 = 836$.

2. Из ряда вычеркнули два числа: 37 и 22. Это значит, что и сумма чисел, и их количество в ряду изменились.
Найдем новую сумму. Для этого из исходной суммы вычтем вычеркнутые числа:
Новая сумма = $836 - 37 - 22 = 836 - 59 = 777$.

3. Найдем новое количество чисел в ряду. Изначально было 22 числа, а два числа вычеркнули:
Новое количество чисел = $22 - 2 = 20$.

4. Теперь мы можем найти среднее арифметическое нового ряда, разделив новую сумму на новое количество чисел:
Среднее арифметическое нового ряда = $\frac{777}{20} = 38,85$.

Ответ: 38,85.

13. Сведения о возрасте учащихся класса были представлены в виде числового ряда. В этот класс поступил новый ученик, который оказался моложе всех остальных учащихся. Как изменялись при этом следующие статистические характеристики ряда:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода?

а)

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел, деленная на их количество. Пусть в классе было $n$ учеников, а сумма их возрастов была равна $S_1$. Тогда первоначальное среднее арифметическое было $\bar{x}_1 = \frac{S_1}{n}$.

В класс пришел новый ученик, возраст которого $x_{new}$ меньше возраста любого другого ученика в классе. Следовательно, его возраст также меньше первоначального среднего арифметического, так как среднее значение всегда находится между минимальным и максимальным значениями ряда: $x_{new} < \bar{x}_1$.

Теперь в классе стало $n+1$ учеников, а новая сумма возрастов стала $S_2 = S_1 + x_{new}$. Новое среднее арифметическое равно $\bar{x}_2 = \frac{S_1 + x_{new}}{n+1}$.

Так как мы добавляем в набор число, которое меньше текущего среднего значения, то новое среднее значение обязательно уменьшится. Если бы мы добавили число, равное среднему, оно бы не изменилось. Если бы добавили число больше среднего — оно бы увеличилось.

Ответ: среднее арифметическое уменьшится.

б)

Размах числового ряда – это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Пусть первоначально наименьший возраст в классе был $x_{min}$, а наибольший – $x_{max}$. Тогда первоначальный размах был $R_1 = x_{max} - x_{min}$.

В класс пришел новый ученик, возраст которого $x_{new}$ меньше возраста всех остальных. Это означает, что $x_{new}$ становится новым наименьшим значением в ряду. Наибольшее значение $x_{max}$ при этом не изменилось.

Новый размах ряда будет равен $R_2 = x_{max} - x_{new}$.

Поскольку $x_{new} < x_{min}$, то $R_2 > R_1$. Например, если первоначальный ряд возрастов был {12, 12, 13, 14}, то $x_{min}=12$, $x_{max}=14$, и размах $R_1 = 14-12=2$. Если пришел ученик возрастом 10 лет, новый ряд будет {10, 12, 12, 13, 14}. Новый размах $R_2 = 14-10=4$. Как видим, $4 > 2$.

Ответ: размах увеличится.

в)

Мода числового ряда – это значение, которое встречается в ряду чаще всего. Ряд может иметь одну моду, несколько мод или не иметь моды вовсе.

В класс пришел новый ученик, который моложе всех остальных. Это означает, что его возраст – это новое, уникальное значение в числовом ряду, которого раньше не было. Частота этого нового значения равна 1.

Частоты всех остальных, уже существующих в ряду возрастов, при этом не изменились.

• Если в исходном ряду была мода (или несколько мод), это означает, что ее частота была как минимум 2. Поскольку частота нового значения равна 1, оно не может стать новой модой или повлиять на уже существующую. Таким образом, мода не изменится.
• Если в исходном ряду не было моды (все ученики имели разный возраст), то после добавления еще одного ученика с уникальным возрастом моды по-прежнему не будет.

В любом случае, мода ряда не изменится.

Ответ: мода не изменится.

14. Средний возраст членов футбольной секции, состоящей из 20 человек, составлял 12,5 года. После того как из секции ушёл двенадцатилетний Саша, а на его место пришёл Юра, средний возраст членов секции составил 12,6 года. Сколько лет Юре?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти суммарный возраст всех членов секции до изменений, затем — после изменений, и на основе разницы вычислить возраст Юры.

1. Вычисление первоначального суммарного возраста
Изначально в футбольной секции было 20 человек, а их средний возраст составлял 12,5 года. Суммарный возраст ($S_1$) можно найти, умножив количество человек на средний возраст:
$S_1 = 20 \text{ человек} \times 12,5 \text{ года} = 250 \text{ лет}$

2. Вычисление нового суммарного возраста
После того как ушел Саша и пришел Юра, количество членов секции осталось прежним (20 человек), но средний возраст изменился и стал 12,6 года. Найдем новый суммарный возраст ($S_2$):
$S_2 = 20 \text{ человек} \times 12,6 \text{ года} = 252 \text{ года}$

3. Нахождение возраста Юры
Новый суммарный возраст ($S_2$) отличается от первоначального ($S_1$) потому, что из суммы возрастов вычли возраст ушедшего Саши (12 лет) и прибавили возраст пришедшего Юры (обозначим его как $x$). Это можно записать в виде уравнения:
$S_2 = S_1 - \text{возраст Саши} + \text{возраст Юры}$
Подставим известные значения:
$252 = 250 - 12 + x$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$252 = 238 + x$
$x = 252 - 238$
$x = 14$
Таким образом, возраст Юры составляет 14 лет.

Ответ: 14 лет.

12. На отрезке длиной $30 \text{ см}$ построены два квадрата, площадь одного из которых на $180 \text{ см}^2$ больше площади другого. Найдите длины сторон квадратов.

Решение.

......................

......................

......................

Решение.

Обозначим длину стороны большего квадрата как $a$ см, а длину стороны меньшего квадрата как $b$ см. Из рисунка видно, что сумма длин сторон этих квадратов равна длине всего отрезка, то есть 30 см.

Составим первое уравнение на основе этого условия:

$a + b = 30$

Площадь большего квадрата равна $S_1 = a^2$, а площадь меньшего квадрата равна $S_2 = b^2$. По условию задачи, площадь одного квадрата на 180 см² больше площади другого.

Составим второе уравнение, отражающее разность площадей:

$a^2 - b^2 = 180$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 30 \\ a^2 - b^2 = 180 \end{cases}$

Для решения системы используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим известное значение $(a+b)$ из первого уравнения во второе:

$(a - b) \cdot 30 = 180$

Теперь найдем разность сторон $(a - b)$, разделив обе части уравнения на 30:

$a - b = \frac{180}{30}$

$a - b = 6$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} a + b = 30 \\ a - b = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $a$:

$(a + b) + (a - b) = 30 + 6$

$2a = 36$

$a = \frac{36}{2}$

$a = 18$

Теперь, зная значение $a$, подставим его в первое уравнение ($a + b = 30$), чтобы найти $b$:

$18 + b = 30$

$b = 30 - 18$

$b = 12$

Итак, мы нашли длины сторон квадратов: 18 см и 12 см.

Проверим правильность решения:

1. Сумма длин сторон: $18 \text{ см} + 12 \text{ см} = 30 \text{ см}$. Условие выполняется.

2. Площади квадратов: $S_1 = 18^2 = 324 \text{ см}^2$, $S_2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2$.

3. Разность площадей: $324 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2 = 180 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: длины сторон квадратов равны 18 см и 12 см.

13. Преобразуйте выражение, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:

$(x^{n+3} + x^{n-3})^2 = (x^{n+3})^2 + 2x^{n+3} \cdot x^{n-3} + (x^{n-3})^2 = x^{2n+6} + 2x^{2n} + x^{2n-6}$

а) $(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2 = $ .....................

.................

б) $(y^{m+n} + y^{m-n})^2 = $ ......................

а) Для преобразования выражения $(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2$ необходимо использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении:

• первый член $x = a^{2n+1}$
• второй член $y = a^{2n-1}$

Применим формулу, подставив наши члены:

$(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2 = (a^{2n+1})^2 - 2 \cdot a^{2n+1} \cdot a^{2n-1} + (a^{2n-1})^2$.

Теперь упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней:

1. Для первого слагаемого используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(a^{2n+1})^2 = a^{(2n+1) \cdot 2} = a^{4n+2}$.

2. Для второго слагаемого (удвоенного произведения) используем свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$2 \cdot a^{2n+1} \cdot a^{2n-1} = 2 \cdot a^{(2n+1) + (2n-1)} = 2 \cdot a^{4n}$.

3. Для третьего слагаемого снова используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(a^{2n-1})^2 = a^{(2n-1) \cdot 2} = a^{4n-2}$.

Соединив упрощенные части, получаем окончательный результат:

$a^{4n+2} - 2a^{4n} + a^{4n-2}$.

Ответ: $a^{4n+2} - 2a^{4n} + a^{4n-2}$.

б) Для преобразования выражения $(y^{m+n} + y^{m-n})^2$ необходимо использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении:

• первый член $x = y^{m+n}$
• второй член $y = y^{m-n}$

Применим формулу, подставив наши члены:

$(y^{m+n} + y^{m-n})^2 = (y^{m+n})^2 + 2 \cdot y^{m+n} \cdot y^{m-n} + (y^{m-n})^2$.

Теперь упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней:

1. Для первого слагаемого используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(y^{m+n})^2 = y^{(m+n) \cdot 2} = y^{2m+2n}$.

2. Для второго слагаемого (удвоенного произведения) используем свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$2 \cdot y^{m+n} \cdot y^{m-n} = 2 \cdot y^{(m+n) + (m-n)} = 2 \cdot y^{2m}$.

3. Для третьего слагаемого снова используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(y^{m-n})^2 = y^{(m-n) \cdot 2} = y^{2m-2n}$.

Соединив упрощенные части, получаем окончательный результат:

$y^{2m+2n} + 2y^{2m} + y^{2m-2n}$.

Ответ: $y^{2m+2n} + 2y^{2m} + y^{2m-2n}$.

14. Упростите выражение:

a) $(3x^n + 2y^n)^2 - 12(xy)^n = \dots$

б) $(0.5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1} = \dots$

а) Чтобы упростить выражение $(3x^n + 2y^n)^2 - 12(xy)^n$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и свойством степени $(xy)^n = x^ny^n$.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(3x^n + 2y^n)^2 = (3x^n)^2 + 2 \cdot (3x^n) \cdot (2y^n) + (2y^n)^2 = 9x^{2n} + 12x^ny^n + 4y^{2n}$

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$(9x^{2n} + 12x^ny^n + 4y^{2n}) - 12(xy)^n$

3. Используем свойство степени $(xy)^n = x^ny^n$ для второго слагаемого:

$9x^{2n} + 12x^ny^n + 4y^{2n} - 12x^ny^n$

4. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $12x^ny^n$ и $-12x^ny^n$ взаимно уничтожаются:

$9x^{2n} + 4y^{2n}$

Ответ: $9x^{2n} + 4y^{2n}$

б) Чтобы упростить выражение $(0,5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1}$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и свойствами степеней.

1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(0,5a^{2n+1})^2 - 2 \cdot (0,5a^{2n+1}) \cdot (b^{2n+1}) + (b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1}$

2. Упростим каждый член выражения:

$(0,5)^2 \cdot (a^{2n+1})^2 - (2 \cdot 0,5) \cdot a^{2n+1}b^{2n+1} + (b^{2n+1})^2 + a^{2n+1}b^{2n+1}$

$0,25a^{2(2n+1)} - 1 \cdot a^{2n+1}b^{2n+1} + b^{2(2n+1)} + a^{2n+1}b^{2n+1}$

$0,25a^{4n+2} - a^{2n+1}b^{2n+1} + b^{4n+2} + a^{2n+1}b^{2n+1}$

3. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-a^{2n+1}b^{2n+1}$ и $+a^{2n+1}b^{2n+1}$ взаимно уничтожаются:

$0,25a^{4n+2} + b^{4n+2}$

Ответ: $0,25a^{4n+2} + b^{4n+2}$