Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

11. От прямоугольного листа картона длиной 30 см и шириной 8 см отрезали с двух сторон два равных прямоугольника, как показано на рисунке. Найдите стороны этих прямоугольников, если известно, что периметр оставшейся части равен 64 см.

Пусть первоначальные размеры листа картона: длина $L_{0} = 30$ см и ширина $W_{0} = 8$ см.

Согласно условию и рисунку, от листа с двух противоположных сторон отрезали два одинаковых прямоугольника. Одна сторона каждого такого прямоугольника равна ширине исходного листа, то есть 8 см. Другую сторону, которую нам предстоит найти, обозначим как $x$ см.

После вырезания этих двух прямоугольников осталась центральная часть, которая также является прямоугольником. Ширина этой оставшейся части равна ширине исходного листа, то есть 8 см. Длина оставшейся части будет равна первоначальной длине минус две ширины отрезанных прямоугольников: $L_{ост} = L_{0} - 2x = 30 - 2x$ см.

Периметр оставшейся части известен и равен 64 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина})$. Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение:

$P_{ост} = 2 \times (L_{ост} + W_{ост})$

$64 = 2 \times ((30 - 2x) + 8)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$64 = 2 \times (38 - 2x)$

Разделим обе части на 2:

$32 = 38 - 2x$

Перенесем $2x$ в левую часть, а 32 в правую:

$2x = 38 - 32$

$2x = 6$

$x = 3$ см.

Таким образом, мы нашли вторую сторону отрезанных прямоугольников. Их стороны равны 3 см и 8 см.

Ответ: стороны отрезанных прямоугольников равны 3 см и 8 см.

9. Докажите, что если $a$ и $b$ — целые числа, разность которых кратна 11, то значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ также кратно 11.

Согласно условию задачи, $a$ и $b$ являются целыми числами, и их разность $(a - b)$ делится на 11 без остатка. Это можно записать в виде равенства: $a - b = 11k$, где $k$ — некоторое целое число.

Нам необходимо доказать, что значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ также кратно 11. Для этого преобразуем данный многочлен, применив метод группировки слагаемых:

$6a^2 - 5a - 6ab + 5b = (6a^2 - 6ab) - (5a - 5b)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$6a(a - b) - 5(a - b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - b)$, который также можно вынести за скобки:

$(a - b)(6a - 5)$

Подставим в полученное выражение известное нам из условия равенство $a - b = 11k$:

$(11k)(6a - 5) = 11 \cdot k \cdot (6a - 5)$

Поскольку $a$ — целое число, то выражение $(6a - 5)$ также является целым числом. Произведение целых чисел $k$ и $(6a - 5)$ также является целым числом. Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения числа 11 на целое число, что по определению означает, что значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ кратно 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

10. Решите уравнение:

а) $x^2 + 7x = 21 + 3x$;

б) $x^2 + 2x - 14 = 7x$.

Дано уравнение: $x^2 + 7x = 21 + 3x$.

Для решения квадратного уравнения необходимо привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знак на противоположный.

$x^2 + 7x - 21 - 3x = 0$

Приведем подобные члены:

$x^2 + (7x - 3x) - 21 = 0$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Теперь уравнение имеет стандартный вид. Коэффициенты равны: $a=1$, $b=4$, $c=-21$.

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $-7; 3$.

Дано уравнение: $x^2 + 2x - 14 = 7x$.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все слагаемые в левую часть.

$x^2 + 2x - 14 - 7x = 0$

Приведем подобные члены:

$x^2 + (2x - 7x) - 14 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Коэффициенты квадратного уравнения: $a=1$, $b=-5$, $c=-14$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 7$.

$5^n + 5^{n+2} - 3^{n+3} + 3^n = $

Для того чтобы представить данный многочлен в виде произведения, необходимо сгруппировать слагаемые с одинаковыми основаниями и вынести общий множитель за скобки.

Исходное выражение: $5^n + 5^{n+2} - 3^{n+3} + 3^n$.

Сгруппируем слагаемые с основанием 5 и слагаемые с основанием 3:

$(5^n + 5^{n+2}) + (3^n - 3^{n+3})$

Теперь в каждой группе вынесем за скобки общий множитель. Для этого воспользуемся свойством степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

В первой группе ($5^n + 5^{n+2}$) вынесем за скобки $5^n$:

$5^n + 5^n \cdot 5^2 = 5^n(1 + 5^2) = 5^n(1 + 25) = 26 \cdot 5^n$

Во второй группе ($3^n - 3^{n+3}$) вынесем за скобки $3^n$:

$3^n - 3^n \cdot 3^3 = 3^n(1 - 3^3) = 3^n(1 - 27) = -26 \cdot 3^n$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$26 \cdot 5^n - 26 \cdot 3^n$

Наконец, вынесем общий множитель 26 за скобки:

$26(5^n - 3^n)$

Таким образом, многочлен представлен в виде произведения двух множителей: 26 и $(5^n - 3^n)$.

Ответ: $26(5^n - 3^n)$

12. Представьте многочлен в виде произведения трёх множителей:

а) $10x^3 - 2x^2y + 15x^2z - 3xyz = $

б) $24abx^2 - 6ax^2 - 28b^2x + 7bx = $

а) $10x^3 - 2x^2y + 15x^2z - 3xyz$

Чтобы представить многочлен в виде произведения, сначала найдём и вынесем за скобки общий множитель для всех его членов. Общим множителем является $x$.

$10x^3 - 2x^2y + 15x^2z - 3xyz = x(10x^2 - 2xy + 15xz - 3yz)$

Теперь необходимо разложить на множители выражение в скобках $10x^2 - 2xy + 15xz - 3yz$. Для этого применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(10x^2 - 2xy) + (15xz - 3yz)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой скобки вынесем $2x$, а из второй $3z$.

$2x(5x - y) + 3z(5x - y)$

Теперь мы видим, что у обеих групп есть общий множитель $(5x - y)$. Вынесем его за скобки:

$(2x + 3z)(5x - y)$

Таким образом, мы разложили исходный многочлен на три множителя.

Ответ: $x(2x + 3z)(5x - y)$

б) $24abx^2 - 6ax^2 - 28b^2x + 7bx$

Вынесем за скобки общий множитель $x$.

$24abx^2 - 6ax^2 - 28b^2x + 7bx = x(24abx - 6ax - 28b^2 + 7b)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $24abx - 6ax - 28b^2 + 7b$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(24abx - 6ax) + (-28b^2 + 7b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $6ax$, а из второй $-7b$, чтобы в скобках получились одинаковые выражения.

$6ax(4b - 1) - 7b(4b - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(4b - 1)$ за скобки:

$(6ax - 7b)(4b - 1)$

В результате мы представили исходный многочлен в виде произведения трёх множителей.

Ответ: $x(6ax - 7b)(4b - 1)$