Страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Основание равнобедренного треугольника на 7 см меньше боковой стороны, а его периметр равен 41 см. Найдите стороны треугольника.

4.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, то есть обе равны $x$ см.

По условию, основание на 7 см меньше боковой стороны. Следовательно, длина основания составляет $(x - 7)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр $P$ данного треугольника вычисляется по формуле:

$P = \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона} + \text{основание}$

$P = x + x + (x - 7)$

Известно, что периметр равен 41 см. Подставим это значение в наше выражение и составим уравнение:

$x + x + (x - 7) = 41$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину боковой стороны $x$:

$3x - 7 = 41$

Перенесем 7 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3x = 41 + 7$

$3x = 48$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = 48 / 3$

$x = 16$

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 16 см.

Теперь найдем длину основания, подставив значение $x$ в выражение для основания:

Основание = $x - 7 = 16 - 7 = 9$ см.

Проверим правильность решения: периметр $16 + 16 + 9 = 32 + 9 = 41$ см, что соответствует условию. Основание ($9$ см) на $16 - 9 = 7$ см меньше боковой стороны ($16$ см), что также соответствует условию.

Ответ: боковые стороны треугольника равны 16 см, 16 см, а основание — 9 см.

5. В танцевальном, хоровом и драматическом кружках занимаются 97 человек, причём в хоровом кружке занимается в полтора раза больше человек, чем в танцевальном, и на 23 человека больше, чем в драматическом. Сколько человек занимается в каждом кружке? Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть в танцевальном кружке занимается $x$ человек.

Тогда в хоровом занимается .......... человек, а в драматическом .......... человек. Всего в трёх кружках занимаются 97 человек. Значит,

Пусть в танцевальном кружке занимается $x$ человек. Тогда в хоровом занимается $1.5x$ человек, а в драматическом $(1.5x - 23)$ человек. Всего в трёх кружках занимаются 97 человек. Значит, можно составить и решить уравнение:

$x + 1.5x + (1.5x - 23) = 97$

Сложим все значения с $x$ и раскроем скобки:

$4x - 23 = 97$

Перенесём число $-23$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$4x = 97 + 23$

$4x = 120$

Найдём $x$:

$x = \frac{120}{4}$

$x = 30$

Мы нашли, что в танцевальном кружке занимается 30 человек.

Теперь найдём, сколько человек занимается в остальных кружках:

В хоровом кружке: $1.5 \cdot 30 = 45$ (человек).

В драматическом кружке: $45 - 23 = 22$ (человека).

Проверим правильность решения, сложив количество человек во всех кружках: $30 + 45 + 22 = 97$. Условие задачи выполняется.

Ответ: в танцевальном кружке занимается 30 человек, в хоровом — 45 человек, а в драматическом — 22 человека.

16. Докажите, что при любом значении $a$:

a) значение выражения $(a-5)(a+12)-(a+3)(a+4)$ кратно 24;

б) значение выражения $(3+a^2)(5-a)-(7-a^2)(a-6)+a(a+10)$ кратно 19.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(a-5)(a+12) - (a+3)(a+4)$ кратно 24 при любом значении $a$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки в первой части выражения, перемножив многочлены:

$(a-5)(a+12) = a \cdot a + a \cdot 12 - 5 \cdot a - 5 \cdot 12 = a^2 + 12a - 5a - 60 = a^2 + 7a - 60$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения:

$(a+3)(a+4) = a \cdot a + a \cdot 4 + 3 \cdot a + 3 \cdot 4 = a^2 + 4a + 3a + 12 = a^2 + 7a + 12$.

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(a^2 + 7a - 60) - (a^2 + 7a + 12) = a^2 + 7a - 60 - a^2 - 7a - 12$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (7a - 7a) + (-60 - 12) = 0 + 0 - 72 = -72$.

В результате упрощения мы получили число -72. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $a$ и всегда равно -72.

5. Проверим, кратно ли число -72 числу 24:

$-72 \div 24 = -3$.

Поскольку -72 делится на 24 нацело, то и значение исходного выражения кратно 24 при любом значении $a$.

Ответ: Доказано. Значение выражения при любом $a$ равно -72, а число -72 кратно 24.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(3+a^2)(5-a) - (7-a^2)(a-6) + a(a+10)$ кратно 19 при любом значении $a$, необходимо упростить это выражение.

1. Последовательно раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $(3+a^2)(5-a) = 3 \cdot 5 - 3 \cdot a + a^2 \cdot 5 - a^2 \cdot a = 15 - 3a + 5a^2 - a^3$.

Второе слагаемое (вычитаемое): $(7-a^2)(a-6) = 7 \cdot a + 7 \cdot (-6) - a^2 \cdot a - a^2 \cdot (-6) = 7a - 42 - a^3 + 6a^2$.

Третье слагаемое: $a(a+10) = a^2 + 10a$.

2. Подставим раскрытые выражения в исходное:

$(15 - 3a + 5a^2 - a^3) - (7a - 42 - a^3 + 6a^2) + (a^2 + 10a)$.

3. Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед вторым слагаемым:

$15 - 3a + 5a^2 - a^3 - 7a + 42 + a^3 - 6a^2 + a^2 + 10a$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням переменной $a$:

Слагаемые с $a^3$: $-a^3 + a^3 = 0$.

Слагаемые с $a^2$: $5a^2 - 6a^2 + a^2 = (5 - 6 + 1)a^2 = 0$.

Слагаемые с $a$: $-3a - 7a + 10a = (-3 - 7 + 10)a = 0$.

Свободные члены (константы): $15 + 42 = 57$.

В результате упрощения мы получили число 57. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $a$ и всегда равно 57.

5. Проверим, кратно ли число 57 числу 19:

$57 \div 19 = 3$.

Поскольку 57 делится на 19 нацело, то и значение исходного выражения кратно 19 при любом значении $a$.

Ответ: Доказано. Значение выражения при любом $a$ равно 57, а число 57 кратно 19.

17. Подчеркните те из данных выражений, которые тождественно равны произведению $(x+y)(7x-3y)$:

$(y+x)(7x-3y)$, $(-x-y)(3y-7x)$,

$-(x+y)(3y-7x)$, $(y+x)(3y-7x)$.

Проверим каждое из данных выражений на тождественное равенство произведению $(x+y)(7x-3y)$, используя алгебраические преобразования.

(y+x)(7x-3y)

В первом множителе $(y+x)$ можно поменять слагаемые местами согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения: $y+x = x+y$. Второй множитель $(7x-3y)$ остается без изменений. Таким образом, выражение принимает вид $(x+y)(7x-3y)$.

Ответ: данное выражение тождественно равно произведению $(x+y)(7x-3y)$.

(-x-y)(3y-7x)

Вынесем знак минус за скобки в каждом из множителей: $(-x-y) = -(x+y)$ и $(3y-7x) = -(7x-3y)$. Перемножим полученные выражения: $(-(x+y)) \cdot (-(7x-3y))$. Так как произведение двух отрицательных множителей равно положительному ($(-1) \cdot (-1) = 1$), выражение упрощается до $(x+y)(7x-3y)$.

Ответ: данное выражение тождественно равно произведению $(x+y)(7x-3y)$.

-(x+y)(3y-7x)

Рассмотрим множитель $(3y-7x)$ и вынесем из него знак минус: $(3y-7x) = -(7x-3y)$. Подставим это преобразование в исходное выражение: $-(x+y)(-(7x-3y))$. Знак минус перед выражением и знак минус, вынесенный из скобки, при умножении дают плюс. В результате получаем $(x+y)(7x-3y)$.

Ответ: данное выражение тождественно равно произведению $(x+y)(7x-3y)$.

(y+x)(3y-7x)

Преобразуем первый множитель по переместительному свойству: $(y+x) = (x+y)$. Во втором множителе вынесем знак минус: $(3y-7x) = -(7x-3y)$. Выражение примет вид $(x+y)(-(7x-3y))$, что равно $-(x+y)(7x-3y)$. Это выражение противоположно по знаку исходному произведению.

Ответ: данное выражение не тождественно равно произведению $(x+y)(7x-3y)$.

18. Длина прямоугольного участка земли на 10 м больше его ширины. После того как каждую сторону участка увеличили на 3 м, его площадь увеличилась на $159 \text{ м}^2$. Определите длину забора, который огораживал первоначальный участок.

Пусть ширина первоначального прямоугольного участка земли равна $w$ метров. Согласно условию, длина участка на 10 м больше его ширины, следовательно, длина $l$ равна $w + 10$ метров.

Площадь первоначального участка $S_1$ вычисляется по формуле:
$S_1 = l \cdot w = (w + 10) \cdot w = w^2 + 10w$

После того как каждую сторону участка увеличили на 3 м, новая ширина стала $w' = w + 3$ м, а новая длина стала $l' = (w + 10) + 3 = w + 13$ м.

Площадь нового участка $S_2$ равна:
$S_2 = l' \cdot w' = (w + 13)(w + 3)$
Раскроем скобки:
$S_2 = w^2 + 3w + 13w + 39 = w^2 + 16w + 39$

По условию, новая площадь на 159 м² больше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 + 159$. Составим и решим уравнение:
$w^2 + 16w + 39 = (w^2 + 10w) + 159$
$w^2 + 16w + 39 = w^2 + 10w + 159$
Перенесем члены с переменной в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$16w - 10w = 159 - 39$
$6w = 120$
$w = \frac{120}{6}$
$w = 20$

Итак, ширина первоначального участка составляла 20 м.
Тогда длина первоначального участка:
$l = w + 10 = 20 + 10 = 30$ м.

Длина забора, который огораживал первоначальный участок, — это его периметр $P_1$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$.
$P_1 = 2(30 + 20) = 2 \cdot 50 = 100$ м.

Ответ: 100 м.