Страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

17. При каких значениях k уравнение $kx = 5k - (4k + 1)$:

а) имеет один корень;

б) имеет бесконечно много корней;

в) не имеет корней?

Для начала преобразуем данное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части:

$kx = 5k - (4k + 1)$

$kx = 5k - 4k - 1$

$kx = k - 1$

Мы получили линейное уравнение вида $ax = b$, где коэффициент $a = k$, а свободный член $b = k - 1$. Количество корней такого уравнения зависит от значения параметра $k$. Проанализируем все возможные случаи.

а) имеет один корень;

Линейное уравнение имеет единственный корень, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю. В нашем случае это означает, что $k \neq 0$.

При $k \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $k$ и найти корень:

$x = \frac{k-1}{k}$

Таким образом, уравнение имеет один корень при любом значении $k$, кроме нуля.

Ответ: при $k \neq 0$.

б) имеет бесконечно много корней;

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно обращается в верное числовое равенство вида $0 \cdot x = 0$. Для этого необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: коэффициент при $x$ равен нулю и свободный член тоже равен нулю.

Система условий:

$\begin{cases} k = 0 \\ k - 1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $k = 1$. Условия $k=0$ и $k=1$ являются взаимоисключающими, то есть не могут выполняться одновременно. Следовательно, не существует таких значений $k$, при которых уравнение имело бы бесконечно много корней.

Ответ: таких значений $k$ не существует.

в) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если оно обращается в неверное числовое равенство вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Для этого необходимо, чтобы коэффициент при $x$ был равен нулю, а свободный член не был равен нулю.

Система условий:

$\begin{cases} k = 0 \\ k - 1 \neq 0 \end{cases}$

Подставим значение $k = 0$ во второе неравенство: $0 - 1 = -1$. Так как $-1 \neq 0$, оба условия выполняются при $k = 0$.

При $k = 0$ исходное уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = 0 - 1$

$0 \cdot x = -1$

Это равенство неверно при любом значении $x$, поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: при $k = 0$.

18. Найдите все натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $ax - 16 = 5x - 1$ является натуральным числом.

Нам дано линейное уравнение $ax - 16 = 5x - 1$. По условию, параметр $a$ является натуральным числом, и корень уравнения $x$ также должен быть натуральным числом.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $x$. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой: $ax - 5x = 16 - 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части: $x(a - 5) = 15$

Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $(a - 5)$. Это действие возможно при условии, что $a - 5 \neq 0$.

Если $a - 5 = 0$, то есть $a = 5$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 15$, что является неверным равенством ($0 = 15$). Следовательно, при $a = 5$ уравнение не имеет решений. Поскольку $a$ по условию — натуральное число, этот случай необходимо было рассмотреть.

При $a \neq 5$, мы можем выразить $x$: $x = \frac{15}{a - 5}$

Согласно условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$), то есть целым положительным числом.

Чтобы значение дроби было целым числом, ее знаменатель $(a - 5)$ должен быть делителем числителя, то есть числа 15. Множество всех целых делителей числа 15: $\{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\}$.

Чтобы значение $x$ было положительным, числитель и знаменатель дроби должны иметь одинаковые знаки. Поскольку числитель 15 положителен, знаменатель $(a - 5)$ также должен быть положительным.

Таким образом, выражение $(a - 5)$ должно быть одним из положительных делителей числа 15. Положительными делителями числа 15 являются 1, 3, 5, 15.

Рассмотрим все возможные случаи для $(a - 5)$:

• Если $a - 5 = 1$, то $a = 1 + 5 = 6$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{1} = 15$. Оба числа, $a=6$ и $x=15$, являются натуральными, что удовлетворяет условию.
• Если $a - 5 = 3$, то $a = 3 + 5 = 8$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{3} = 5$. Оба числа, $a=8$ и $x=5$, являются натуральными.
• Если $a - 5 = 5$, то $a = 5 + 5 = 10$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{5} = 3$. Оба числа, $a=10$ и $x=3$, являются натуральными.
• Если $a - 5 = 15$, то $a = 15 + 5 = 20$. В этом случае корень уравнения $x = \frac{15}{15} = 1$. Оба числа, $a=20$ и $x=1$, являются натуральными.

Мы нашли все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 6, 8, 10, 20.

1. Составьте выражение по условию задачи.

а) Основание равнобедренного треугольника равно $a$ см, а боковая сторона равна $b$ см. Найдите боковую сторону треугольника, если известно, что она на 6 см меньше основания.

Ответ: $b = a - 6$

б) Расстояние от посёлка до станции равно $b$ км, что на 5 км больше, чем расстояние от деревни до станции, равное $x$ км. Найдите расстояние от деревни до станции.

$x = b - 5$

в) На приготовление домашнего задания по алгебре ученик затратил $a$ мин, а по геометрии — $b$ мин, что на полчаса больше. Сколько времени затратил ученик на выполнение домашнего задания по геометрии?

$b = a + 30$

а) По условию задачи дано, что основание равнобедренного треугольника равно $a$ см, а его боковая сторона — $b$ см. Известно, что боковая сторона на 6 см меньше основания. Чтобы составить выражение, нужно перевести словесное описание в математическую форму. Фраза "на 6 см меньше" означает операцию вычитания. Следовательно, чтобы найти длину боковой стороны $b$, нужно из длины основания $a$ вычесть 6.
Выражение выглядит так: $b = a - 6$.
Ответ: $b = a - 6$

б) В задаче указаны два расстояния: от посёлка до станции, равное $b$ км, и от деревни до станции, равное $x$ км. Условие гласит, что расстояние $b$ на 5 км больше, чем расстояние $x$. Это можно записать в виде уравнения: $b = x + 5$.
Чтобы найти расстояние от деревни до станции, то есть найти $x$, нам нужно выразить $x$ из этого уравнения. Для этого мы перенесем 5 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = b - 5$.
Ответ: Расстояние от деревни до станции равно $b - 5$ км.

в) Обозначим время, затраченное на алгебру, как $a$ мин, а на геометрию — как $b$ мин. По условию, на геометрию было потрачено на полчаса больше времени, чем на алгебру. В первую очередь необходимо привести все единицы времени к одной — минутам. В одном часе 60 минут, следовательно, полчаса — это 30 минут.
Фраза "на 30 минут больше" означает операцию сложения. Чтобы найти время, затраченное на геометрию ($b$), нужно ко времени, затраченному на алгебру ($a$), прибавить 30 минут.
$b = a + 30$.
Ответ: Ученик затратил на выполнение домашнего задания по геометрии $a + 30$ мин.

10. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(n-3)(n+5) = n \cdot n + 5 \cdot n - 3 \cdot n - 3 \cdot 5 = n^2 + 2n - 15$

$(n+1)(n-9) = n \cdot n - 9 \cdot n + 1 \cdot n - 1 \cdot 9 = n^2 - 8n - 9$

Шаг 2: Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание.

$(n^2 + 2n - 15) - (n^2 - 8n - 9) = n^2 + 2n - 15 - n^2 + 8n + 9$

Шаг 3: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(n^2 - n^2) + (2n + 8n) + (-15 + 9) = 0 + 10n - 6 = 10n - 6$

В результате упрощения мы получили выражение $10n - 6$.

Шаг 4: Проанализируем полученное выражение на чётность. Чётным называется число, которое делится на 2 без остатка. Чтобы доказать, что $10n - 6$ является чётным, вынесем общий множитель 2 за скобки:

$10n - 6 = 2(5n - 3)$

По условию задачи, $n$ — любое натуральное число (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, произведение $5n$ также является целым числом. Разность двух целых чисел $(5n - 3)$ всегда является целым числом.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $2 \cdot k$, где $k = 5n-3$ и $k$ — целое число. По определению, любое число, которое можно представить в виде произведения двойки и целого числа, является чётным.

Следовательно, значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $10n - 6$. Это выражение можно записать как $2(5n - 3)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $5n-3$ — целое число. Значит, выражение $2(5n - 3)$ всегда делится на 2, то есть является чётным при любом натуральном $n$.

11. Выполните умножение двучленов:

$(a+3)(a-1)(a-5)=(a+3)(a^2-a-5a+5)=(a+3)(a^2-6a+5)=a^3+3a^2-6a^2-18a+5a+15=a^3-3a^2-13a+15$

a) $(x-1)(x-2)(x-3)=$

б) $(b+2)(b-3)(b+4)=$

а) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Для решения данной задачи необходимо последовательно перемножить двучлены. Сначала перемножим первые две скобки:

$(x - 1)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Теперь результат умножим на третий двучлен $(x - 3)$:

$(x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) - 3x \cdot x - 3x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-3x^2 - 3x^2) + (9x + 2x) - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

б) $(b + 2)(b - 3)(b + 4)$

Аналогично первому пункту, выполним умножение по шагам. Сначала перемножим первые два двучлена:

$(b + 2)(b - 3) = b \cdot b + b \cdot (-3) + 2 \cdot b + 2 \cdot (-3) = b^2 - 3b + 2b - 6 = b^2 - b - 6$

Далее умножим полученный трехчлен на оставшийся двучлен $(b + 4)$:

$(b^2 - b - 6)(b + 4) = b^2 \cdot b + b^2 \cdot 4 - b \cdot b - b \cdot 4 - 6 \cdot b - 6 \cdot 4 = b^3 + 4b^2 - b^2 - 4b - 6b - 24$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (4b^2 - b^2) + (-4b - 6b) - 24 = b^3 + 3b^2 - 10b - 24$

Ответ: $b^3 + 3b^2 - 10b - 24$

12. При каком значении $x$ равны значения выражений $(2x-1)(3x+4)$ и $(3x-2)(2x+1)$?

Чтобы найти значение x, при котором значения выражений $(2x-1)(3x+4)$ и $(3x-2)(2x+1)$ равны, необходимо приравнять их друг к другу и решить получившееся уравнение.

Составим уравнение:

$(2x-1)(3x+4) = (3x-2)(2x+1)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. Для этого перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки (правило умножения многочленов).

Левая часть: $(2x-1)(3x+4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 4 = 6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4$.

Правая часть: $(3x-2)(2x+1) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot 2x - 2 \cdot 1 = 6x^2 + 3x - 4x - 2 = 6x^2 - x - 2$.

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$6x^2 + 5x - 4 = 6x^2 - x - 2$

Перенесем все члены, содержащие x, в левую часть уравнения, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный.

$6x^2 - 6x^2 + 5x + x = -2 + 4$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $6x^2$ и $-6x^2$ в левой части взаимно уничтожаются.

$6x = 2$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 6.

$x = \frac{2}{6}$

Сократим полученную дробь:

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$