Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

6. Приведите пример уравнения, которое:

а) имеет один корень: ..........................

б) имеет бесконечно много корней: ..............

в) не имеет корней: ..........................

а) имеет один корень:

Уравнение имеет один корень, если в результате его преобразований мы можем однозначно выразить переменную через число. Типичным примером является линейное уравнение вида $ax + b = c$, в котором коэффициент $a$ при переменной не равен нулю. Такое уравнение всегда имеет единственное решение.

Рассмотрим в качестве примера уравнение: $2x + 5 = 11$.

Чтобы найти его корень, выполним следующие шаги:

1. Перенесем число 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
   $2x = 11 - 5$
   $2x = 6$
2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной $x$, то есть на 2:
   $x = \frac{6}{2}$
   $x = 3$

Мы получили, что $x=3$ — это единственное значение, при котором исходное равенство будет верным. Следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: $2x + 5 = 11$

б) имеет бесконечно много корней:

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством. Это означает, что левая и правая части уравнения равны друг другу при любом значении переменной. При попытке решить такое уравнение мы придем к верному равенству, которое не зависит от переменной, например, $0 = 0$ или $5 = 5$.

Приведем пример такого уравнения: $4(x - 1) = 4x - 4$.

Выполним преобразования:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:
   $4x - 4 = 4x - 4$
2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
   $4x - 4x = -4 + 4$
   $0 \cdot x = 0$
   $0 = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ истинно всегда, независимо от того, какое значение мы подставим вместо $x$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.

Ответ: $4(x - 1) = 4x - 4$

в) не имеет корней:

Уравнение не имеет корней, если в ходе его решения мы приходим к противоречию — неверному числовому равенству, например, $0 = 7$. Это говорит о том, что не существует ни одного значения переменной, которое могло бы превратить исходное уравнение в верное равенство.

Рассмотрим следующий пример: $3x + 5 = 3x - 2$.

Попытаемся его решить:

1. Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые — в правой:
   $3x - 3x = -2 - 5$
2. Упростим обе части:
   $0 \cdot x = -7$
   $0 = -7$

Мы получили неверное равенство $0 = -7$. Это противоречие означает, что исходное уравнение не может быть верным ни при каком значении $x$. Следовательно, у него нет корней.

Ответ: $3x + 5 = 3x - 2$

7. Найдите корни уравнения:

а) $|x|=14$;

б) $|x|=0$;

в) $|x|=-11$.

а) $|x| = 14$

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 14$ означает, что мы ищем числа $x$, которые находятся на расстоянии 14 единиц от нуля.

Существует два таких числа:

1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = 14$.

2. Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = 14$, откуда $x = -14$.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-14; 14$.

б) $|x| = 0$

Данное уравнение означает, что расстояние от числа $x$ до нуля равно 0. Единственное число, которое удовлетворяет этому условию, — это сам ноль.

Формально, по определению модуля, $|x| = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $0$.

в) $|x| = -11$

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого числа $x$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-11$. Поскольку неотрицательное значение (модуль) не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

8. При каких значениях b уравнение $|x-4|=b-2$:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

Рассмотрим уравнение $|x - 4| = b - 2$.

Левая часть этого уравнения, $|x - 4|$, является модулем, значение которого по определению всегда неотрицательно, то есть $|x - 4| \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, количество решений уравнения зависит от значения выражения в правой части, $b - 2$.

а) имеет один корень

Уравнение вида $|f(x)| = C$ имеет ровно один корень только в том случае, если $C = 0$. В нашем случае правая часть $b-2$ должна быть равна нулю.

Составим и решим уравнение относительно $b$:

$b - 2 = 0$

$b = 2$

При $b=2$ исходное уравнение принимает вид $|x - 4| = 0$. Это уравнение равносильно $x - 4 = 0$, откуда мы получаем единственный корень $x = 4$.

Ответ: при $b = 2$.

б) имеет два корня

Уравнение будет иметь два различных корня, если его правая часть будет строго положительной. То есть $b - 2 > 0$.

Решим это неравенство:

$b - 2 > 0$

$b > 2$

Если $b > 2$, то $b-2$ — положительное число, и уравнение $|x - 4| = b - 2$ распадается на два независимых уравнения:

$x - 4 = b - 2$ или $x - 4 = -(b - 2)$

Решая их, получаем два различных корня:

$x_1 = b - 2 + 4 = b + 2$

$x_2 = -b + 2 + 4 = 6 - b$

Ответ: при $b > 2$.

в) не имеет корней

Уравнение не будет иметь действительных корней, если его правая часть будет отрицательной. Это связано с тем, что левая часть (модуль) не может быть отрицательным числом.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$b - 2 < 0$

$b < 2$

При $b < 2$ левая часть уравнения $|x - 4|$ неотрицательна, а правая часть $b - 2$ отрицательна. Равенство между ними невозможно, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: при $b < 2$.

9. Сформулируйте свойство уравнений, которое позволяет утверждать, что равносильны уравнения:

a) $17x - 2 = 32$ и $17x = 32 + 2$;

б) $1,8(3x - 1) = 3,6$ и $3x - 1 = 2$.

а) Чтобы перейти от уравнения $17x - 2 = 32$ к уравнению $17x = 32 + 2$, мы переносим слагаемое $-2$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный. Эта операция является следствием более общего свойства: к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число. В данном случае к обеим частям было прибавлено число 2:

$17x - 2 + 2 = 32 + 2$

$17x = 32 + 2$

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни (или оба не имеют корней). Применение этого свойства гарантирует, что множество корней уравнения не изменится.

Ответ: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

б) Чтобы перейти от уравнения $1,8(3x - 1) = 3,6$ к уравнению $3x - 1 = 2$, мы делим обе части исходного уравнения на одно и то же число, не равное нулю. В данном случае обе части делятся на 1,8:

$\frac{1,8(3x - 1)}{1,8} = \frac{3,6}{1,8}$

$3x - 1 = 2$

Так как мы делим на число $1,8$, которое не равно нулю, это преобразование является равносильным, то есть оно не изменяет множество корней исходного уравнения.

Ответ: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

11. Вынесите общий множитель за скобки ($n$ — натуральное число):

а) $a^{3n} - 3a^n =$

б) $x^{2n+1}y + x^{2n-1}y =$

в) $c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1} =$

а) В выражении $a^{3n} - 3a^n$ необходимо найти общий множитель. Оба члена выражения содержат переменную $a$. Чтобы найти общий множитель, нужно выбрать переменную в наименьшей степени. Сравним степени $3n$ и $n$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $3n \ge n$. Следовательно, наименьшая степень — это $n$. Общий множитель — $a^n$.

Вынесем $a^n$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $a^n$:

$a^{3n} - 3a^n = a^n \cdot (\frac{a^{3n}}{a^n} - \frac{3a^n}{a^n})$

Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^k} = x^{m-k}$, упростим выражение в скобках:

$\frac{a^{3n}}{a^n} = a^{3n-n} = a^{2n}$

$\frac{3a^n}{a^n} = 3 \cdot a^{n-n} = 3 \cdot a^0 = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, получаем итоговое выражение:

$a^n(a^{2n} - 3)$

Ответ: $a^n(a^{2n} - 3)$

б) В выражении $x^{2n+1}y + x^{2n-1}y$ оба члена содержат переменные $x$ и $y$. Общий множитель для $y$ — это $y$, так как он входит в оба члена в первой степени.

Для переменной $x$ нужно сравнить степени $2n+1$ и $2n-1$. Так как $n$ — натуральное число, то $2n+1 > 2n-1$. Наименьшая степень — $2n-1$. Значит, общий множитель для $x$ — это $x^{2n-1}$.

Общий множитель всего выражения — это произведение общих множителей для каждой переменной: $x^{2n-1}y$.

Вынесем $x^{2n-1}y$ за скобки:

$x^{2n+1}y + x^{2n-1}y = x^{2n-1}y \cdot (\frac{x^{2n+1}y}{x^{2n-1}y} + \frac{x^{2n-1}y}{x^{2n-1}y})$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{x^{2n+1}y}{x^{2n-1}y} = \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}} \cdot \frac{y}{y} = x^{(2n+1)-(2n-1)} \cdot 1 = x^{2n+1-2n+1} = x^2$

$\frac{x^{2n-1}y}{x^{2n-1}y} = 1$

В результате получаем:

$x^{2n-1}y(x^2 + 1)$

Ответ: $x^{2n-1}y(x^2 + 1)$

в) Рассмотрим выражение $c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1}$. Все три члена содержат переменную $c$. Для нахождения общего множителя необходимо выбрать $c$ в наименьшей степени.

Сравним степени: $3n+4$, $3n+2$ и $3n+1$. Так как $n$ — натуральное число, очевидно, что $3n+4 > 3n+2 > 3n+1$. Наименьшая степень — $3n+1$.

Следовательно, общий множитель — это $c^{3n+1}$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $c^{3n+1}$:

$c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1} = c^{3n+1} \cdot (\frac{c^{3n+4}}{c^{3n+1}} - \frac{c^{3n+2}}{c^{3n+1}} + \frac{c^{3n+1}}{c^{3n+1}})$

Упростим каждый член в скобках, используя свойство вычитания показателей при делении степеней с одинаковым основанием:

$\frac{c^{3n+4}}{c^{3n+1}} = c^{(3n+4)-(3n+1)} = c^{3n+4-3n-1} = c^3$

$\frac{c^{3n+2}}{c^{3n+1}} = c^{(3n+2)-(3n+1)} = c^{3n+2-3n-1} = c^1 = c$

$\frac{c^{3n+1}}{c^{3n+1}} = 1$

Таким образом, выражение принимает вид:

$c^{3n+1}(c^3 - c + 1)$

Ответ: $c^{3n+1}(c^3 - c + 1)$

12. Докажите, что при любом натуральном ($n>1$):

а) значение выражения $6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n$ кратно 31;

б) значение выражения $9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3}$ кратно 71.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n$ кратно 31, преобразуем его. Для этого вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени. В данном случае это $6^n$.

Используем свойство степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$:

$6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n = 6^n \cdot 6^2 - 6^n \cdot 6^1 + 6^n \cdot 1$

Выносим $6^n$ за скобки:

$= 6^n(6^2 - 6^1 + 1)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$6^2 - 6 + 1 = 36 - 6 + 1 = 31$

Таким образом, исходное выражение равно $6^n \cdot 31$.

Так как $n$ - натуральное число ($n > 1$), то $6^n$ является натуральным числом. Произведение $6^n \cdot 31$ содержит множитель 31, следовательно, все выражение делится на 31 без остатка при любом натуральном $n>1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3}$ кратно 71, поступим аналогичным образом. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени. Наименьший показатель в данном случае это $2n-3$.

Используем свойство степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$:

$9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3} = 9^{(2n-3)+2} - 9^{(2n-3)+1} - 9^{2n-3} \cdot 1$

Выносим $9^{2n-3}$ за скобки:

$= 9^{2n-3}(9^2 - 9^1 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$9^2 - 9 - 1 = 81 - 9 - 1 = 71$

Таким образом, исходное выражение равно $9^{2n-3} \cdot 71$.

Поскольку по условию $n$ - натуральное число и $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), показатель степени $2n-3$ будет натуральным числом (например, при $n=2$ он равен $2 \cdot 2 - 3 = 1$). Следовательно, $9^{2n-3}$ является натуральным числом. Произведение $9^{2n-3} \cdot 71$ имеет множитель 71, а значит, оно кратно 71 при любом натуральном $n>1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

13. Известно, что при некоторых значениях $a$ и $b$ разность $a - 2b$ равна 8. Чему равно при тех же значениях $a$ и $b$ значение выражения:

а) $15a - 30b + 61$;

б) $(2a - 4b)^2 - 300?$

По условию задачи нам дано, что разность $a - 2b$ равна 8. То есть, $a - 2b = 8$. Мы будем использовать это равенство для нахождения значений предложенных выражений.

а) Чтобы найти значение выражения $15a - 30b + 61$, преобразуем его, вынеся общий множитель за скобки. Общим множителем для $15a$ и $-30b$ является 15.

$15a - 30b + 61 = 15(a) - 15(2b) + 61 = 15(a - 2b) + 61$

Теперь, зная, что $a - 2b = 8$, подставим это значение в наше преобразованное выражение:

$15 \cdot 8 + 61 = 120 + 61 = 181$

Ответ: 181

б) Чтобы найти значение выражения $(2a - 4b)^2 - 300$, сначала преобразуем выражение внутри скобок. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a - 4b = 2(a - 2b)$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(2(a - 2b))^2 - 300$

Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, раскроем скобки:

$2^2 \cdot (a - 2b)^2 - 300 = 4(a - 2b)^2 - 300$

Теперь подставим известное значение $a - 2b = 8$ в полученное выражение:

$4 \cdot (8)^2 - 300 = 4 \cdot 64 - 300 = 256 - 300 = -44$

Ответ: -44