Страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Являются ли тождественно равными выражения:

а) $xy+a$ и $a+xy$;

б) $a-4b$ и $4b-a$;

в) $13a-13b$ и $13(a-b)$;

г) $4(x+1)$ и $4x$?

Ответ: а) ................. б) ................. в) ................. г) .................

а) Сравним выражения $xy + a$ и $a + xy$. Согласно переместительному свойству сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), слагаемые можно менять местами. Таким образом, $xy + a = a + xy$. Данные выражения равны при любых значениях входящих в них переменных.
Ответ: да, являются.

б) Сравним выражения $a - 4b$ и $4b - a$. Эти выражения являются противоположными, так как $4b - a = -(a - 4b)$. Они равны только в том случае, когда их значение равно нулю, то есть при $a = 4b$. В общем случае они не равны. Например, если $a=1$, $b=0$, то $a - 4b = 1$, а $4b - a = -1$. Так как $1 \ne -1$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

в) Сравним выражения $13a - 13b$ и $13(a - b)$. Используем распределительное свойство умножения для преобразования второго выражения (раскроем скобки): $13(a - b) = 13 \cdot a - 13 \cdot b = 13a - 13b$. Полученное выражение идентично первому. Также можно было вынести общий множитель 13 за скобки в первом выражении: $13a - 13b = 13(a-b)$.
Ответ: да, являются.

г) Сравним выражения $4(x + 1)$ и $4x$. Раскроем скобки в первом выражении: $4(x + 1) = 4 \cdot x + 4 \cdot 1 = 4x + 4$. Выражение $4x + 4$ не равно выражению $4x$, так как они отличаются на 4. Например, при $x=1$ первое выражение равно $4(1+1) = 8$, а второе равно $4 \cdot 1 = 4$. Так как $8 \ne 4$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

2. Подчеркните выражения, тождественно равные выражению $5x - 5y$:

$5(x-y)$, $-5(y-x)$, $5x-y$, $5y-5x$, $-5y+5x$, $0,5(10x-10y)$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений тождественно равны выражению $5x - 5y$, необходимо упростить каждое из них и сравнить с исходным. Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.

5(x - y)
Применим распределительный закон умножения $a(b - c) = ab - ac$:
$5(x - y) = 5 \cdot x - 5 \cdot y = 5x - 5y$.
Это выражение совпадает с исходным.
Ответ: выражение тождественно равно.

-5(y - x)
Применим распределительный закон умножения:
$-5(y - x) = (-5) \cdot y - (-5) \cdot x = -5y + 5x$.
Применив переместительный закон сложения ($a + b = b + a$), получим:
$-5y + 5x = 5x - 5y$.
Это выражение совпадает с исходным.
Ответ: выражение тождественно равно.

5x - y
Это выражение не равно $5x - 5y$, так как коэффициент при переменной $y$ равен $-1$, а не $-5$. Равенство будет выполняться только в частном случае, когда $y = 5y$, то есть при $y=0$, но не для всех значений переменных.
Ответ: выражение не является тождественно равным.

5y - 5x
Это выражение является противоположным исходному: $5y - 5x = -( -5y + 5x) = -(5x - 5y)$. Равенство $5y - 5x = 5x - 5y$ выполняется только при условии $10x = 10y$, то есть $x = y$, а не для всех значений переменных.
Ответ: выражение не является тождественно равным.

-5y + 5x
Применив переместительный закон сложения, поменяем слагаемые местами:
$-5y + 5x = 5x - 5y$.
Это выражение совпадает с исходным.
Ответ: выражение тождественно равно.

0,5(10x - 10y)
Применим распределительный закон умножения:
$0,5(10x - 10y) = 0,5 \cdot 10x - 0,5 \cdot 10y = 5x - 5y$.
Это выражение совпадает с исходным.
Ответ: выражение тождественно равно.

Итак, выражения, тождественно равные $5x - 5y$: 5(x - y), -5(y - x), -5y + 5x, 0,5(10x - 10y).

3. Какое из равенств не является тождеством:

а) $12ab + 6ac = 6a(2b + c)$;

б) $p(2b + 1) = 2bp + p$;

в) $14xy - xy = 13xy$;

г) $6(a - a) + 4a = 10a$?

Чтобы найти равенство, которое не является тождеством, нужно проверить каждое из них. Тождество — это равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Мы будем упрощать одну из частей каждого равенства и сравнивать ее с другой.

а) $12ab + 6ac = 6a(2b + c)$
Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения:
$6a(2b + c) = 6a \cdot 2b + 6a \cdot c = 12ab + 6ac$
Полученное выражение в правой части полностью совпадает с левой частью ($12ab + 6ac = 12ab + 6ac$). Следовательно, данное равенство верно при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$.
Ответ: Равенство является тождеством.

б) $p(2b + 1) = 2bp + p$
Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:
$p(2b + 1) = p \cdot 2b + p \cdot 1 = 2bp + p$
Левая часть после преобразования стала равна правой ($2bp + p = 2bp + p$). Следовательно, данное равенство верно при любых значениях переменных $p$ и $b$.
Ответ: Равенство является тождеством.

в) $14xy - xy = 13xy$
Упростим левую часть равенства, приведя подобные слагаемые. Выражение $xy$ можно представить как $1xy$.
$14xy - 1xy = (14 - 1)xy = 13xy$
Левая часть после упрощения стала равна правой ($13xy = 13xy$). Следовательно, данное равенство верно при любых значениях переменных $x$ и $y$.
Ответ: Равенство является тождеством.

г) $6(a - a) + 4a = 10a$
Упростим левую часть равенства. Сначала выполним действие в скобках:
$a - a = 0$
Теперь подставим полученный результат в левую часть равенства:
$6 \cdot (0) + 4a = 0 + 4a = 4a$
Теперь сравним преобразованную левую часть с правой: $4a$ и $10a$. Равенство $4a = 10a$ верно только при $a=0$. Для всех других значений переменной $a$ (например, при $a=1$, $4 \neq 10$) равенство не выполняется. Поскольку тождество должно быть верным при всех допустимых значениях переменной, данное равенство тождеством не является.
Ответ: Равенство не является тождеством.

4. Выполните приведение подобных слагаемых:

а) $6a - y + a - 5y =$

б) $31x - b - 7x - b =$

в) $-16x + 13y - 4x + 7y =$

г) $0,5a - 0,2b + a - b =$

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $6a - y + a - 5y$, необходимо сгруппировать и сложить члены с одинаковой буквенной частью. Подобными слагаемыми здесь являются $6a$ и $a$, а также $-y$ и $-5y$.
Сгруппируем их: $(6a + a) + (-y - 5y)$.
Теперь выполним сложение в каждой группе, складывая их коэффициенты:
$6a + a = (6 + 1)a = 7a$
$-y - 5y = (-1 - 5)y = -6y$
Объединим результаты, чтобы получить упрощенное выражение.
Ответ: $7a - 6y$

б) В выражении $31x - b - 7x - b$ найдем подобные слагаемые. Это члены, содержащие переменную $x$ ($31x$ и $-7x$), и члены, содержащие переменную $b$ ($-b$ и $-b$).
Сгруппируем их для удобства: $(31x - 7x) + (-b - b)$.
Вычислим сумму для каждой группы:
$31x - 7x = (31 - 7)x = 24x$
$-b - b = (-1 - 1)b = -2b$
Соединим полученные члены.
Ответ: $24x - 2b$

в) Для приведения подобных слагаемых в выражении $-16x + 13y - 4x + 7y$ определим группы слагаемых с одинаковыми переменными.
Группа с $x$: $-16x$ и $-4x$.
Группа с $y$: $13y$ и $7y$.
Сложим коэффициенты в каждой группе:
$-16x - 4x = (-16 - 4)x = -20x$
$13y + 7y = (13 + 7)y = 20y$
Запишем итоговое выражение.
Ответ: $-20x + 20y$

г) В выражении $0,5a - 0,2b + a - b$ приведем подобные слагаемые. Помним, что $a$ — это то же самое, что и $1a$, а $-b$ — то же самое, что и $-1b$.
Сгруппируем подобные слагаемые: $(0,5a + a) + (-0,2b - b)$.
Выполним сложение для каждой переменной:
$0,5a + 1a = (0,5 + 1)a = 1,5a$
$-0,2b - 1b = (-0,2 - 1)b = -1,2b$
Объединим полученные слагаемые.
Ответ: $1,5a - 1,2b$

5. Выполняя приведение подобных слагаемых, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте:

а) $16a - 6b + a + b = 17a - 5b;$

б) $1,4x + 1,6x - y - x = 2x - y;$

в) $15a - 1,5b + a - b = 16a - 2,5b;$

г) $0,12x - y - 0,11x + 4y = x + 3y.$

Ответ: ошибка допущена в задании ......., после приведения подобных слагаемых получается выражение

Для того чтобы найти ошибку, необходимо проверить правильность приведения подобных слагаемых в каждом пункте.

а) $16a - 6b + a + b = (16a + a) + (-6b + b) = (16 + 1)a + (-6 + 1)b = 17a - 5b$.

Результат ученика совпадает с правильным. Ошибки нет.

Ответ: решение верное.

б) $1,4x + 1,6x - y - x = (1,4x + 1,6x - x) - y = (1,4 + 1,6 - 1)x - y = (3 - 1)x - y = 2x - y$.

Результат ученика совпадает с правильным. Ошибки нет.

Ответ: решение верное.

в) $15a - 1,5b + a - b = (15a + a) + (-1,5b - b) = (15 + 1)a + (-1,5 - 1)b = 16a - 2,5b$.

Результат ученика совпадает с правильным. Ошибки нет.

Ответ: решение верное.

г) $0,12x - y - 0,11x + 4y = (0,12x - 0,11x) + (-y + 4y) = (0,12 - 0,11)x + (-1 + 4)y = 0,01x + 3y$.

Ученик получил в ответе $x + 3y$. Это неверно, так как $0,12x - 0,11x = 0,01x$, а не $x$. Ученик, вероятно, неверно выполнил вычитание десятичных дробей.

Ответ: в решении допущена ошибка, правильное выражение $0,01x + 3y$.

Ответ: ошибка допущена в задании г, после приведения подобных слагаемых получается выражение $0,01x + 3y$.

13. Докажите тождество:

а) $5(3x - 2y) - 2(x + 4y) + 7y = 13x - 11y$;

б) $2x(3x + 6) + 5x(x - 2) - 11(x^2 + 1) = 2x - 11$.

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентична другой. Преобразуем левую часть равенства: $5(3x - 2y) - 2(x + 4y) + 7y$.

Сначала раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения:
$5 \cdot 3x - 5 \cdot 2y - 2 \cdot x - 2 \cdot 4y + 7y = 15x - 10y - 2x - 8y + 7y$.

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и вычислим отдельно члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$:
$(15x - 2x) + (-10y - 8y + 7y) = 13x + (-18y + 7y) = 13x - 11y$.

В результате преобразований левая часть равенства $13x - 11y$ стала идентична его правой части.

Ответ: тождество доказано.

Аналогично, преобразуем левую часть равенства $2x(3x + 6) + 5x(x - 2) - 11(x^2 + 1)$.

Раскроем все скобки:
$2x \cdot 3x + 2x \cdot 6 + 5x \cdot x - 5x \cdot 2 - 11 \cdot x^2 - 11 \cdot 1 = 6x^2 + 12x + 5x^2 - 10x - 11x^2 - 11$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены):
$(6x^2 + 5x^2 - 11x^2) + (12x - 10x) - 11 = (11x^2 - 11x^2) + 2x - 11 = 0 + 2x - 11 = 2x - 11$.

Полученное выражение $2x - 11$ в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Ответ: тождество доказано.

14. Выполните действия:

а) $4y^{n-1}\left(\frac{3}{8}y^{n+1} - \frac{1}{2}y\right)=$

б) $-3a^m b^m \left(-\frac{1}{6}a^{7-m} - \frac{2}{3}b^{9-m}\right)=$

а) Для того, чтобы раскрыть скобки в выражении $4y^{n-1} \left( \frac{3}{8}y^{n+1} - \frac{1}{2}y \right)$, необходимо использовать распределительное свойство умножения. Это значит, что нужно умножить множитель перед скобками $4y^{n-1}$ на каждый член внутри скобок.

1. Умножим $4y^{n-1}$ на первый член в скобках, $\frac{3}{8}y^{n+1}$:
$4y^{n-1} \cdot \frac{3}{8}y^{n+1} = \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right) \cdot \left(y^{n-1} \cdot y^{n+1}\right)$
Сначала перемножаем числовые коэффициенты:
$4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Затем перемножаем переменные. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$y^{n-1} \cdot y^{n+1} = y^{(n-1) + (n+1)} = y^{n-1+n+1} = y^{2n}$
Результат первого умножения: $\frac{3}{2}y^{2n}$.

2. Умножим $4y^{n-1}$ на второй член в скобках, $-\frac{1}{2}y$:
$4y^{n-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}y\right) = \left(4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(y^{n-1} \cdot y^1\right)$
Перемножаем числовые коэффициенты:
$4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{2} = -2$
Перемножаем переменные:
$y^{n-1} \cdot y^1 = y^{(n-1) + 1} = y^{n-1+1} = y^n$
Результат второго умножения: $-2y^n$.

3. Теперь сложим полученные результаты, чтобы получить итоговое выражение:
$\frac{3}{2}y^{2n} - 2y^n$

Ответ: $\frac{3}{2}y^{2n} - 2y^n$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $-3a^m b^m \left( -\frac{1}{6}a^{7-m} - \frac{2}{3}b^{9-m} \right)$ также применим распределительное свойство умножения. Умножим одночлен $-3a^m b^m$ на каждый из членов в скобках.

1. Умножим $-3a^m b^m$ на первый член в скобках, $-\frac{1}{6}a^{7-m}$:
$\left(-3a^m b^m\right) \cdot \left(-\frac{1}{6}a^{7-m}\right) = \left(-3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(a^m \cdot a^{7-m}\right) \cdot b^m$
Перемножаем коэффициенты:
$-3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Перемножаем степени с основанием $a$:
$a^m \cdot a^{7-m} = a^{m+(7-m)} = a^{m+7-m} = a^7$
Результат первого умножения: $\frac{1}{2}a^7 b^m$.

2. Умножим $-3a^m b^m$ на второй член в скобках, $-\frac{2}{3}b^{9-m}$:
$\left(-3a^m b^m\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}b^{9-m}\right) = \left(-3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\right) \cdot a^m \cdot \left(b^m \cdot b^{9-m}\right)$
Перемножаем коэффициенты:
$-3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{6}{3} = 2$
Перемножаем степени с основанием $b$:
$b^m \cdot b^{9-m} = b^{m+(9-m)} = b^{m+9-m} = b^9$
Результат второго умножения: $2a^m b^9$.

3. Сложим полученные результаты:
$\frac{1}{2}a^7 b^m + 2a^m b^9$

Ответ: $\frac{1}{2}a^7 b^m + 2a^m b^9$.

15. Решите уравнение:

а) $2 - \frac{3x-2}{18} - \frac{2x-11}{27} = 0;$

б) $4 - \frac{2-y}{3} = \frac{3y+4}{5} - \frac{y}{4}.$

а) Дано уравнение $2 - \frac{3x - 2}{18} - \frac{2x - 11}{27} = 0$.
Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 18 и 27.
Разложим числа на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $27 = 3^3$.
НОК(18, 27) = $2 \cdot 3^3 = 54$.
Умножим обе части уравнения на 54:
$54 \cdot 2 - 54 \cdot \frac{3x - 2}{18} - 54 \cdot \frac{2x - 11}{27} = 54 \cdot 0$
Выполним сокращение:
$108 - 3 \cdot (3x - 2) - 2 \cdot (2x - 11) = 0$
Раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:
$108 - 9x + 6 - 4x + 22 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(-9x - 4x) + (108 + 6 + 22) = 0$
$-13x + 136 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$-13x = -136$
Разделим обе части на -1:
$13x = 136$
Найдем $x$:
$x = \frac{136}{13}$
Ответ: $x = \frac{136}{13}$.

б) Дано уравнение $4 - \frac{2 - y}{3} = \frac{3y + 4}{5} - \frac{y}{4}$.
Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3, 5 и 4.
НОК(3, 5, 4) = 60.
Умножим все члены уравнения на 60:
$60 \cdot 4 - 60 \cdot \frac{2 - y}{3} = 60 \cdot \frac{3y + 4}{5} - 60 \cdot \frac{y}{4}$
Выполним сокращение:
$240 - 20(2 - y) = 12(3y + 4) - 15y$
Раскроем скобки:
$240 - 40 + 20y = 36y + 48 - 15y$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$200 + 20y = (36y - 15y) + 48$
$200 + 20y = 21y + 48$
Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$200 - 48 = 21y - 20y$
$152 = y$
Ответ: $y = 152$.