Страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. Докажите, что значение выражения $17 \cdot 22 + 8 \cdot 44$ делится на 121.

Чтобы доказать, что значение выражения $17 \cdot 22 + 8 \cdot 44$ делится на 121, необходимо показать, что это выражение можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 121.

Преобразуем исходное выражение. Заметим, что $121 = 11 \cdot 11$. Постараемся выделить общие множители в слагаемых.

Представим число 44 во втором слагаемом как $4 \cdot 11$, а число 22 в первом слагаемом как $2 \cdot 11$:
$17 \cdot (2 \cdot 11) + 8 \cdot (4 \cdot 11)$

В обоих слагаемых есть общий множитель 11. Вынесем его за скобки:
$11 \cdot (17 \cdot 2 + 8 \cdot 4)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$17 \cdot 2 + 8 \cdot 4 = 34 + 32 = 66$

Таким образом, исходное выражение равно:
$11 \cdot 66$

Мы знаем, что для делимости на 121 нам нужен множитель $11 \cdot 11$. Представим число 66 в виде произведения $6 \cdot 11$:
$11 \cdot (6 \cdot 11)$

Используя переместительное свойство умножения, сгруппируем множители:
$(11 \cdot 11) \cdot 6 = 121 \cdot 6$

Мы представили исходное выражение в виде произведения числа 121 и целого числа 6. Это доказывает, что значение выражения $17 \cdot 22 + 8 \cdot 44$ делится на 121 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано, так как значение выражения равно $121 \cdot 6$.

11. Найдите значение выражения $8.7 \cdot 5.2 + 7.8 \cdot 8.7 - 13 \cdot 1.7$.

Для того чтобы найти значение выражения $8,7 \cdot 5,2 + 7,8 \cdot 8,7 - 13 \cdot 1,7$, заметим, что в первых двух слагаемых есть общий множитель $8,7$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения.

$8,7 \cdot 5,2 + 7,8 \cdot 8,7 - 13 \cdot 1,7 = 8,7 \cdot (5,2 + 7,8) - 13 \cdot 1,7$

Теперь выполним сложение в скобках:
$5,2 + 7,8 = 13$

Подставим полученное значение обратно в выражение:
$8,7 \cdot 13 - 13 \cdot 1,7$

Мы видим, что теперь у уменьшаемого и вычитаемого появился новый общий множитель $13$. Снова вынесем его за скобки:
$13 \cdot (8,7 - 1,7)$

Выполним вычитание в скобках:
$8,7 - 1,7 = 7$

Осталось выполнить последнее действие — умножение:
$13 \cdot 7 = 91$

Ответ: $91$

12. Вычислите значение выражения
$ (40 \cdot 1.9 \cdot 1.25 - 19 \cdot 13) : 0.8 $

Для вычисления значения выражения $(40 \cdot 1,9 \cdot 1,25 - 19 \cdot 13) : 0,8$ необходимо выполнить действия в соответствии с порядком операций: сначала вычисления в скобках, затем деление.

1. Первое действие в скобках — умножение $40 \cdot 1,9 \cdot 1,25$. Для удобства вычислений можно изменить порядок множителей и сначала умножить $40$ на $1,25$.
$40 \cdot 1,25 = 50$
Теперь умножим полученный результат на $1,9$.
$50 \cdot 1,9 = 95$

2. Второе действие в скобках — умножение $19 \cdot 13$.
$19 \cdot 13 = 247$

3. Третье действие — вычитание внутри скобок.
$95 - 247 = -152$

4. Четвертое и последнее действие — деление результата из скобок на $0,8$.
$-152 : 0,8$
Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим и делимое, и делитель на 10.
$-1520 : 8 = -190$

Ответ: $-190$.

13. а) Проверьте, верны ли равенства:

$\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$; $\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; $\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$.

б) Найдите значение выражения

$\frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$, заменяя каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+1)}$ разностью дробей $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n+1}$.

а) Проверим верность каждого из предложенных равенств, вычисляя значения левой и правой частей.

Для равенства $ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $:

Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20} $.

Правая часть: $ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ 4 \cdot 5 = 20 $.
$ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20} $.

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{20} = \frac{1}{20} $), равенство верно.

Для равенства $ \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $:

Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30} $.

Правая часть: $ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ 5 \cdot 6 = 30 $.
$ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{6-5}{30} = \frac{1}{30} $.

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{30} = \frac{1}{30} $), равенство верно.

Для равенства $ \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $:

Левая часть: $ \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42} $.

Правая часть: $ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ 6 \cdot 7 = 42 $.
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7}{42} - \frac{6}{42} = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42} $.

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{42} = \frac{1}{42} $), равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

б) Требуется найти значение выражения $ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $, заменяя каждую дробь вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ разностью дробей $ \frac{1}{n} $ и $ \frac{1}{n+1} $.

В пункте а) была продемонстрирована закономерность, которую можно доказать в общем виде: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $. Проверка: $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $. Тождество верно.

Применим это тождество к каждому слагаемому в выражении:

• $ \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} $ (для $n=7$)
• $ \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} $ (для $n=8$)
• $ \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $ (для $n=9$)

Теперь подставим полученные разности в исходное выражение:

$ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $

Раскроем скобки. Слагаемые $ -\frac{1}{8} $ и $ +\frac{1}{8} $, а также $ -\frac{1}{9} $ и $ +\frac{1}{9} $ взаимно уничтожаются (сокращаются):

$ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{7} - \frac{1}{10} $

Такой прием называется телескопическим суммированием. Осталось вычислить полученную разность. Приведем дроби к общему знаменателю $ 7 \cdot 10 = 70 $:

$ \frac{1}{7} - \frac{1}{10} = \frac{10}{70} - \frac{7}{70} = \frac{10-7}{70} = \frac{3}{70} $

Ответ: $ \frac{3}{70} $.

11. Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях переменных:

а) $4m(m-n)-n(m+2n)+m(3n-4m)$ при $m=-0,2, n=0,1;$

б) $a^3(2a^2+a-1)-2a^2(a^3-3a+2)-a^4-5a^3+5$ при $a=\frac{1}{2}$.

а) Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$4m(m - n) - n(m + 2n) + m(3n - 4m) = 4m \cdot m - 4m \cdot n - n \cdot m - n \cdot 2n + m \cdot 3n - m \cdot 4m = 4m^2 - 4mn - mn - 2n^2 + 3mn - 4m^2$
Сгруппируем подобные члены:
$(4m^2 - 4m^2) + (-4mn - mn + 3mn) - 2n^2 = 0 + (-5mn + 3mn) - 2n^2 = -2mn - 2n^2$
Теперь подставим значения $m = -0,2$ и $n = 0,1$ в упрощенное выражение:
$-2mn - 2n^2 = -2(-0,2)(0,1) - 2(0,1)^2 = 0,4 \cdot 0,1 - 2 \cdot 0,01 = 0,04 - 0,02 = 0,02$
Ответ: 0,02.

б) Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$a^3(2a^2 + a - 1) - 2a^2(a^3 - 3a + 2) - a^4 - 5a^3 + 5 = (2a^5 + a^4 - a^3) - (2a^5 - 6a^3 + 4a^2) - a^4 - 5a^3 + 5$
$ = 2a^5 + a^4 - a^3 - 2a^5 + 6a^3 - 4a^2 - a^4 - 5a^3 + 5$
Сгруппируем подобные члены:
$(2a^5 - 2a^5) + (a^4 - a^4) + (-a^3 + 6a^3 - 5a^3) - 4a^2 + 5 = 0 + 0 + 0 - 4a^2 + 5 = -4a^2 + 5$
Теперь подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:
$-4a^2 + 5 = -4 \cdot (\frac{1}{2})^2 + 5 = -4 \cdot \frac{1}{4} + 5 = -1 + 5 = 4$
Ответ: 4.

12. Решите уравнение:

a) $8y(2y + 5) - 4y(4y + 7) = 3y - 6(2 - y);$

б) $5x - 2x(3 - 4x) + 82 = 8x(x + 5).$

а) $8y(2y + 5) - 4y(4y + 7) = 3y - 6(2 - y)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим одночлены на многочлены, а в правой — число на многочлен:

$(8y \cdot 2y + 8y \cdot 5) - (4y \cdot 4y + 4y \cdot 7) = 3y - (6 \cdot 2 - 6 \cdot y)$

$16y^2 + 40y - (16y^2 + 28y) = 3y - 12 + 6y$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$16y^2 + 40y - 16y^2 - 28y = 3y - 12 + 6y$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(16y^2 - 16y^2) + (40y - 28y) = 0 + 12y = 12y$

В правой части: $(3y + 6y) - 12 = 9y - 12$

Получаем упрощенное уравнение:

$12y = 9y - 12$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой. При переносе через знак равенства меняем знак на противоположный:

$12y - 9y = -12$

$3y = -12$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $y$:

$y = \frac{-12}{3}$

$y = -4$

Ответ: -4

б) $5x - 2x(3 - 4x) + 82 = 8x(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножая одночлены на многочлены:

$5x - (2x \cdot 3 - 2x \cdot 4x) + 82 = 8x \cdot x + 8x \cdot 5$

$5x - (6x - 8x^2) + 82 = 8x^2 + 40x$

Раскроем скобки, учитывая знак минус:

$5x - 6x + 8x^2 + 82 = 8x^2 + 40x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(5x - 6x) + 8x^2 + 82 = -x + 8x^2 + 82$

Получаем уравнение:

$8x^2 - x + 82 = 8x^2 + 40x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Вычтем $8x^2$ из обеих частей уравнения:

$8x^2 - x + 82 - 8x^2 = 8x^2 + 40x - 8x^2$

$-x + 82 = 40x$

Теперь перенесем $-x$ в правую часть (меняя знак на плюс), чтобы сгруппировать все слагаемые с $x$:

$82 = 40x + x$

$82 = 41x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 41:

$x = \frac{82}{41}$

$x = 2$

Ответ: 2