Номер 13, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

4. Свойства действий над числами. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 13, страница 18.

Условие.

13. а) Проверьте, верны ли равенства:

$\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$; $\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; $\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$.

б) Найдите значение выражения

$\frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$, заменяя каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+1)}$ разностью дробей $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n+1}$.

Решение.

Решение 2.

а) Проверим верность каждого из предложенных равенств, вычисляя значения левой и правой частей.

Для равенства $ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $:

Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20} $.

Правая часть: $ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ 4 \cdot 5 = 20 $.
$ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20} $.

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{20} = \frac{1}{20} $), равенство верно.

Для равенства $ \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $:

Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30} $.

Правая часть: $ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ 5 \cdot 6 = 30 $.
$ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{6-5}{30} = \frac{1}{30} $.

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{30} = \frac{1}{30} $), равенство верно.

Для равенства $ \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $:

Левая часть: $ \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42} $.

Правая часть: $ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ 6 \cdot 7 = 42 $.
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7}{42} - \frac{6}{42} = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42} $.

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{42} = \frac{1}{42} $), равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

б) Требуется найти значение выражения $ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $, заменяя каждую дробь вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ разностью дробей $ \frac{1}{n} $ и $ \frac{1}{n+1} $.

В пункте а) была продемонстрирована закономерность, которую можно доказать в общем виде: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $. Проверка: $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $. Тождество верно.

Применим это тождество к каждому слагаемому в выражении:

• $ \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} $ (для $n=7$)
• $ \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} $ (для $n=8$)
• $ \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $ (для $n=9$)

Теперь подставим полученные разности в исходное выражение:

$ \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $

Раскроем скобки. Слагаемые $ -\frac{1}{8} $ и $ +\frac{1}{8} $, а также $ -\frac{1}{9} $ и $ +\frac{1}{9} $ взаимно уничтожаются (сокращаются):

$ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{7} - \frac{1}{10} $

Такой прием называется телескопическим суммированием. Осталось вычислить полученную разность. Приведем дроби к общему знаменателю $ 7 \cdot 10 = 70 $:

$ \frac{1}{7} - \frac{1}{10} = \frac{10}{70} - \frac{7}{70} = \frac{10-7}{70} = \frac{3}{70} $

Ответ: $ \frac{3}{70} $.