Страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

16. Точками на прямой отмечены числа $a, b, c, d$. Около каждой точки запишите соответствующее число, если известно, что $a > c, d < c, b < d$.

Для того чтобы определить, какая точка какому числу соответствует, необходимо упорядочить числа $a$, $b$, $c$ и $d$ по возрастанию. На числовой прямой, направленной вправо, меньшие числа всегда располагаются левее больших.

Проанализируем данные нам условия в виде неравенств: $a > c$, $d < c$ и $b < d$.

1. Из неравенства $b < d$ следует, что точка, соответствующая числу $b$, находится на прямой левее точки, соответствующей числу $d$.

2. Из неравенства $d < c$ следует, что точка $d$ расположена левее точки $c$.

3. Из неравенства $a > c$, что равносильно $c < a$, следует, что точка $c$ расположена левее точки $a$.

Теперь объединим эти три неравенства в одну общую цепочку, чтобы установить полный порядок чисел. Из $b < d$ и $d < c$ мы можем составить двойное неравенство $b < d < c$. Добавив к этому результату неравенство $c < a$, мы получаем итоговую упорядоченную последовательность для всех четырех чисел: $b < d < c < a$.

Эта последовательность показывает, что $b$ — наименьшее число, $d$ — следующее по величине, затем идет $c$, и $a$ — наибольшее число. Следовательно, самая левая точка на прямой соответствует наименьшему числу $b$, вторая точка слева — числу $d$, третья — числу $c$, и самая правая точка — наибольшему числу $a$.

Ответ: Точки на прямой в порядке слева направо соответствуют числам: $b, d, c, a$.

1. Вычислите наиболее удобным способом значение выражения:

$134 \cdot \frac{1}{17} - 66 \cdot \frac{1}{17} = \frac{1}{17}(134 - 66) = \frac{1}{17} \cdot 68 = 4$

a) $\frac{1}{6} \cdot 1,79 - 0,35 \cdot \frac{1}{6} =$

б) $1,75 \cdot 17 + 1,75 \cdot 3 =$

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{1}{6} \cdot 1,79 - 0,35 \cdot \frac{1}{6}$ наиболее удобным способом, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. Общим множителем здесь является $\frac{1}{6}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{6}$ за скобки:
$\frac{1}{6} \cdot 1,79 - 0,35 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \cdot (1,79 - 0,35)$
Сначала выполним действие в скобках:
$1,79 - 0,35 = 1,44$
Теперь умножим полученный результат на общий множитель:
$\frac{1}{6} \cdot 1,44 = \frac{1,44}{6} = 0,24$
Ответ: 0,24

б) Для вычисления значения выражения $1,75 \cdot 17 + 1,75 \cdot 3$ наиболее удобным способом применим распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + a \cdot b = a \cdot (c + b)$. Общим множителем в данном случае является $1,75$.
Вынесем общий множитель $1,75$ за скобки:
$1,75 \cdot 17 + 1,75 \cdot 3 = 1,75 \cdot (17 + 3)$
Сначала выполним действие в скобках:
$17 + 3 = 20$
Теперь умножим общий множитель на полученный результат:
$1,75 \cdot 20$
Это можно вычислить, представив $1,75$ как обыкновенную дробь $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$:
$\frac{7}{4} \cdot 20 = 7 \cdot \frac{20}{4} = 7 \cdot 5 = 35$
Либо умножая десятичные дроби:
$1,75 \cdot 20 = 1,75 \cdot 2 \cdot 10 = 3,5 \cdot 10 = 35$
Ответ: 35

2. Закончите вычисление значения суммы и укажите свойства сложения, которые были использованы:

$8,37 + 5,4 + 2,63 + 6,6 = (8,37 + 2,63) + (5,4 + 6,6) = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Закончите вычисление значения суммы

Чтобы завершить вычисление, необходимо выполнить сложение в каждой из скобок, а затем сложить полученные результаты.

1. Сначала вычислим сумму в первой скобке: $8,37 + 2,63 = 11$.

2. Затем вычислим сумму во второй скобке: $5,4 + 6,6 = 12$.

3. Теперь сложим полученные результаты: $11 + 12 = 23$.

Полная запись вычисления: $8,37 + 5,4 + 2,63 + 6,6 = (8,37 + 2,63) + (5,4 + 6,6) = 11 + 12 = 23$.

Ответ: 23.

Свойства сложения, которые были использованы

В данном примере слагаемые были переставлены и сгруппированы для удобства вычислений. Это возможно благодаря следующим свойствам сложения:

- Переместительное свойство сложения (коммутативность). Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Формула: $a + b = b + a$. В нашем примере слагаемые $5,4$ и $2,63$ были поменяны местами, чтобы сгруппировать $8,37$ с $2,63$ и $5,4$ с $6,6$.

- Сочетательное свойство сложения (ассоциативность). Оно гласит, что при сложении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке. Формула: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволило нам объединить слагаемые в скобки $(8,37 + 2,63)$ и $(5,4 + 6,6)$ для последовательного вычисления.

Ответ: переместительное и сочетательное свойства сложения.

3. Чему равна сумма всех целых чисел от -210 до 212 включительно?

Какие свойства сложения были использованы при ответе на вопрос?

Чтобы найти сумму всех целых чисел от –210 до 212, запишем эту сумму в виде ряда:
$S = (–210) + (–209) + \dots + (–1) + 0 + 1 + \dots + 209 + 210 + 211 + 212$
В этом ряду для каждого отрицательного числа от –210 до –1 есть соответствующее ему положительное число. Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Например, $(–210) + 210 = 0$, $(–209) + 209 = 0$, и так далее до $(–1) + 1 = 0$.
Мы можем мысленно переставить и сгруппировать слагаемые, чтобы сложить эти пары:
$S = [(–210) + 210] + [(–209) + 209] + \dots + [(–1) + 1] + 0 + 211 + 212$
Сумма всех пар в квадратных скобках равна нулю. Сложение с нулем также не изменяет результат. Таким образом, сумма всех целых чисел от –210 до 210 равна 0.
В итоге нам остается сложить только те числа, для которых не нашлось противоположной пары:
$S = 0 + 211 + 212$
$S = 423$
Ответ: 423

При решении задачи были использованы следующие свойства сложения:
1. Переместительное свойство (коммутативность): $a + b = b + a$. Это свойство позволило изменить порядок слагаемых, чтобы поставить рядом противоположные числа для удобства вычисления.
2. Сочетательное свойство (ассоциативность): $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволило сгруппировать слагаемые в пары (например, $[(–210) + 210]$), сумма которых вычислялась в первую очередь.
3. Свойство противоположных чисел (наличие обратного элемента по сложению): для любого числа $a$ существует число $–a$ такое, что их сумма $a + (–a) = 0$. Это ключевое свойство, которое позволило взаимно уничтожить большую часть слагаемых.
4. Свойство нуля (наличие нейтрального элемента по сложению): $a + 0 = a$. Число 0, присутствующее в ряду, не повлияло на итоговую сумму.
Ответ: Переместительное (коммутативное) свойство, сочетательное (ассоциативное) свойство, свойство сложения противоположных чисел и свойство сложения с нулём.

4. Найдите значение выражения:

$0,25 \cdot 4 \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 10=$

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом. Сначала выполняются операции умножения, а затем — вычитание.

Исходное выражение: $0,25 \cdot 4 \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 10$

1. Выполним первое умножение: $0,25 \cdot 4 \cdot 6$
Умножим $0,25$ на $4$:
$0,25 \cdot 4 = 1$
Теперь умножим полученный результат на $6$:
$1 \cdot 6 = 6$

2. Выполним второе умножение: $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 10$
Умножим $\frac{1}{3}$ на $9$. Это эквивалентно делению $9$ на $3$:
$\frac{1}{3} \cdot 9 = \frac{9}{3} = 3$
Теперь умножим полученный результат на $10$:
$3 \cdot 10 = 30$

3. Выполним вычитание:
Подставим полученные значения в исходное выражение и найдем разность:
$6 - 30 = -24$

Ответ: $-24$

7. Справедливо ли утверждение, что при любом значении перемен-

ной $y$ значение выражения

$15y^2(y^2 - 2y + 4) - 3y(8 - 10y^2 + 7y) + 12(3 + 2y)$

является положительным числом?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать полученный результат.

Исходное выражение: $15y^2(y^2 - 2y + 4) - 3y(8 - 10y^2 + 7y) + 12(3 + 2y)$.

Шаг 1: Раскрытие скобок

Последовательно раскроем скобки в каждом слагаемом, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри них.

Первое слагаемое: $15y^2(y^2 - 2y + 4) = 15y^2 \cdot y^2 - 15y^2 \cdot 2y + 15y^2 \cdot 4 = 15y^4 - 30y^3 + 60y^2$.

Второе слагаемое: $-3y(8 - 10y^2 + 7y) = -3y \cdot 8 - 3y \cdot (-10y^2) - 3y \cdot 7y = -24y + 30y^3 - 21y^2$.

Третье слагаемое: $12(3 + 2y) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 2y = 36 + 24y$.

Шаг 2: Приведение подобных членов

Теперь сложим все полученные выражения:

$(15y^4 - 30y^3 + 60y^2) + (-24y + 30y^3 - 21y^2) + (36 + 24y)$

Сгруппируем и сложим подобные члены (члены с одинаковой степенью переменной y):

$15y^4 + (-30y^3 + 30y^3) + (60y^2 - 21y^2) + (-24y + 24y) + 36$

Выполним сложение в скобках:

$15y^4 + 0 + 39y^2 + 0 + 36$

После упрощения получаем выражение:

$15y^4 + 39y^2 + 36$

Шаг 3: Анализ полученного выражения

Проанализируем выражение $15y^4 + 39y^2 + 36$, чтобы определить его знак при любом значении y.

Слагаемое $15y^4$: так как любое число, возведенное в четную степень (4), является неотрицательным ($y^4 \ge 0$), то и произведение $15y^4$ также неотрицательно ($15y^4 \ge 0$).

Слагаемое $39y^2$: аналогично, $y^2 \ge 0$ для любого y, поэтому и произведение $39y^2$ неотрицательно ($39y^2 \ge 0$).

Слагаемое 36: это константа, и она положительна ($36 > 0$).

Таким образом, всё выражение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых и одного строго положительного слагаемого. Сумма неотрицательных и положительного числа всегда будет положительным числом.

Минимальное значение выражения достигается при $y=0$, так как при этом значении оба неотрицательных слагаемых ($15y^4$ и $39y^2$) обращаются в ноль. Подставим $y=0$ в выражение:

$15(0)^4 + 39(0)^2 + 36 = 0 + 0 + 36 = 36$.

Минимальное значение выражения равно 36, что больше нуля. При любых других значениях y (то есть $y \ne 0$), значение выражения будет больше 36.

Следовательно, утверждение о том, что значение выражения является положительным числом при любом значении переменной y, справедливо.

Ответ: Да, утверждение справедливо. Значение выражения всегда является положительным числом, так как после упрощения оно равно $15y^4 + 39y^2 + 36$, что больше или равно 36 при любом значении y.

8. Из города А отправился автобус со скоростью 50 км/ч. Через $1\frac{1}{2}$ ч вслед за ним выехал легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через какое время после своего отправления и на каком расстоянии от города А легковой автомобиль догонит автобус?

Для решения этой задачи необходимо найти время и место встречи двух объектов, движущихся в одном направлении с разными скоростями и с разным временем старта.

Исходные данные:
Скорость автобуса: $v_{а} = 50$ км/ч.
Скорость легкового автомобиля: $v_{л} = 60$ км/ч.
Временная разница в отправлении (автобус выехал раньше): $\Delta t = 1\frac{1}{2}$ ч = $1.5$ ч.

Через какое время после своего отправления легковой автомобиль догонит автобус?

1. Сначала определим, какое расстояние успел проехать автобус за $1.5$ часа до того, как выехал легковой автомобиль. Это расстояние будет начальной дистанцией между ними.

$S_{фора} = v_{а} \times \Delta t = 50 \text{ км/ч} \times 1.5 \text{ ч} = 75 \text{ км}$

2. Легковой автомобиль движется быстрее автобуса, поэтому он будет сокращать расстояние между ними. Скорость, с которой автомобиль догоняет автобус, называется скоростью сближения и равна разности их скоростей.

$v_{сбл} = v_{л} - v_{а} = 60 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$

3. Время, необходимое автомобилю, чтобы догнать автобус, можно найти, разделив начальное расстояние между ними на скорость сближения. Это время отсчитывается с момента выезда автомобиля.

$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{75 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 7.5 \text{ ч}$

Ответ: легковой автомобиль догонит автобус через 7.5 часов после своего отправления.

На каком расстоянии от города А легковой автомобиль догонит автобус?

Чтобы найти расстояние от города А до места встречи, нужно умножить скорость легкового автомобиля на время его движения до встречи.

$S_{встречи} = v_{л} \times t_{встречи} = 60 \text{ км/ч} \times 7.5 \text{ ч} = 450 \text{ км}$

Для проверки можно выполнить расчет для автобуса. Общее время движения автобуса до встречи равно времени его форы плюс время движения автомобиля до встречи:

$t_{а\_полное} = \Delta t + t_{встречи} = 1.5 \text{ ч} + 7.5 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$

Расстояние, пройденное автобусом за это время:

$S_{а\_полное} = v_{а} \times t_{а\_полное} = 50 \text{ км/ч} \times 9 \text{ ч} = 450 \text{ км}$

Так как расстояния совпадают, расчеты верны.

Ответ: встреча произойдет на расстоянии 450 км от города А.

9. К 20 кг латуни (сплава меди и цинка) добавили 1 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве увеличилось на 3%. Сколько цинка было в сплаве первоначально?

Решение.

Пусть первоначальная масса цинка в сплаве была равна $x$ кг, тогда его содержание составляло ................... часть массы сплава. После увеличения количества цинка его масса оказалась равной ................. кг. Содержание цинка в сплаве стало составлять ................. часть массы сплава.

Поскольку содержание цинка в сплаве увеличилось на 3%, можно составить уравнение:

Решение. Пусть первоначальная масса цинка в сплаве была равна $x$ кг. Общая масса сплава составляла 20 кг. Следовательно, первоначальное содержание (концентрация) цинка в сплаве было равно $\frac{x}{20}$.

После того как к сплаву добавили 1 кг цинка, масса цинка в новом сплаве стала равной $(x+1)$ кг, а общая масса нового сплава стала $20 + 1 = 21$ кг. Соответственно, содержание цинка в новом сплаве стало равно $\frac{x+1}{21}$.

По условию задачи, содержание цинка в сплаве увеличилось на 3%, что в виде десятичной дроби составляет 0,03. Это означает, что разница между новым и первоначальным содержанием цинка равна 0,03. На основе этого мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{x+1}{21} - \frac{x}{20} = 0,03$

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $21 \cdot 20 = 420$:

$\frac{20(x+1)}{420} - \frac{21x}{420} = 0,03$

$\frac{20x + 20 - 21x}{420} = 0,03$

$\frac{20 - x}{420} = 0,03$

Умножим обе части уравнения на 420, чтобы избавиться от знаменателя:

$20 - x = 0,03 \cdot 420$

$20 - x = 12,6$

Отсюда находим $x$:

$x = 20 - 12,6$

$x = 7,4$

Таким образом, первоначальная масса цинка в сплаве составляла 7,4 кг.

Проведем проверку. Первоначальное содержание цинка: $\frac{7,4}{20} = 0,37$ (то есть 37%). После добавления 1 кг цинка новая масса цинка стала $7,4 + 1 = 8,4$ кг, а новая масса сплава — $20 + 1 = 21$ кг. Новое содержание цинка: $\frac{8,4}{21} = 0,4$ (то есть 40%). Разница в содержании составляет $40\% - 37\% = 3\%$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в сплаве было 7,4 кг цинка.