Номер 3, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

4. Свойства действий над числами. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 3, страница 16.

Условие.

3. Чему равна сумма всех целых чисел от -210 до 212 включительно?

Какие свойства сложения были использованы при ответе на вопрос?

Решение.

Решение 2.

Чему равна сумма всех целых чисел от –210 до 212 включительно?

Чтобы найти сумму всех целых чисел от –210 до 212, запишем эту сумму в виде ряда:
$S = (–210) + (–209) + \dots + (–1) + 0 + 1 + \dots + 209 + 210 + 211 + 212$
В этом ряду для каждого отрицательного числа от –210 до –1 есть соответствующее ему положительное число. Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Например, $(–210) + 210 = 0$, $(–209) + 209 = 0$, и так далее до $(–1) + 1 = 0$.
Мы можем мысленно переставить и сгруппировать слагаемые, чтобы сложить эти пары:
$S = [(–210) + 210] + [(–209) + 209] + \dots + [(–1) + 1] + 0 + 211 + 212$
Сумма всех пар в квадратных скобках равна нулю. Сложение с нулем также не изменяет результат. Таким образом, сумма всех целых чисел от –210 до 210 равна 0.
В итоге нам остается сложить только те числа, для которых не нашлось противоположной пары:
$S = 0 + 211 + 212$
$S = 423$
Ответ: 423

Какие свойства сложения были использованы при ответе на вопрос?

При решении задачи были использованы следующие свойства сложения:
1. Переместительное свойство (коммутативность): $a + b = b + a$. Это свойство позволило изменить порядок слагаемых, чтобы поставить рядом противоположные числа для удобства вычисления.
2. Сочетательное свойство (ассоциативность): $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволило сгруппировать слагаемые в пары (например, $[(–210) + 210]$), сумма которых вычислялась в первую очередь.
3. Свойство противоположных чисел (наличие обратного элемента по сложению): для любого числа $a$ существует число $–a$ такое, что их сумма $a + (–a) = 0$. Это ключевое свойство, которое позволило взаимно уничтожить большую часть слагаемых.
4. Свойство нуля (наличие нейтрального элемента по сложению): $a + 0 = a$. Число 0, присутствующее в ряду, не повлияло на итоговую сумму.
Ответ: Переместительное (коммутативное) свойство, сочетательное (ассоциативное) свойство, свойство сложения противоположных чисел и свойство сложения с нулём.